两个非常规的二次曲面函数一个为：Z=2Xy+X+Y。因为这个函数的产生与孪生素数有关、这个函数的定义域与值域与孪生素数猜想证明的关键证明点有关、所以这个函数的定义城与值域的确认是本文重点。先看这个函数它的定义域（X∈N*，Y∈N*）这是显而易见的、因为在X、y二个变量中只要有一个为零、那么这个函数就不是二次曲面函数、将演变成二元一次方程中最简单的直线方程Z=X或Z=Y、所以使二次曲面有意义的定义域一定是非零自然数N*。（注：因为本文讨论的是数论中的问题、在没有特殊要求的情况下、以后所示字母均为自然数N或N*）。X=0或Y=0是这个二次曲面函数定义域外的点、那么就要讨论由此而得到的、N自然数中唯一的上述函数定义域外的点、即0点形成新的函数的性质即Z=X或Z=Y这个最简单的直线方程的特性，以Z=X为例显而易见这个直线方程是平面直角坐标系中第一象限的角平分线、因而具有二大特性：1、这个直线方程的定义域和它的值域完全重合、都是N、自变量与函数值一、一对应相等；2、在数论意义上讲、即从自然数、整数这个最小单元来讲、这个直线方程的值域是连续的、是对自然数N的连续性全覆盖的、在它值域内没有一个自然数缺失的间断点。
这个二次曲面的值域是什么呢？对于特殊二次曲面、只有用整数截痕法、用Y=整数的截面截得此平面上的截痕方程、得出每个截痕方程的值域、将全部截痕方程的值域作为此二次曲面的值域。当用Y=1、Y=2、Y=3、……直到Y=无穷、无穷多个截面去截取二次曲面就可以得到每个截痕方程为3X+1、5X+2、7X+3、……(2Y+1)X+Y、一一（A），(A)这个无穷直线方程组是什么呢？明眼的中学生都能看出每一个直线方程即每个子函数都是一个无穷等差数列、只不过每一个等差数列的公差不同、一个比一个大；从解析几何来看、(A)是个无穷射线群的集合、每条射线起始于由X=0截面截得的截痕Z=Y直线方程上、也就是由Z轴与Y轴组成的平面、Z=Y的这条角平分线上、而且起点一条比一条高、射线斜率越来越大、射线与Z轴的空间夹角越来越小、直至无限地与竖轴方向平行（但永远不可能平行）。只要考察截痕方程的值域性质就可总结二次曲面函数的值域性质。1、以公差最小的3X+1中可以得出它的值域是4、7、10……无穷。也就是这个值域是在自然数N内的、存在间隔为无限多个、间隔数值为公差数的不连续间断区所组成的不连续自然数；重要的是随着X趋向无穷这个规律永不变化、即间断区域永远存在。2、其它任何截痕方程的公差都比3X+1大、即间断区域只扩大决无缩小之例、随着截面数的无限增大、截痕方程中公差间断区间隔也无限增大、当然无论随着X增大还是Y增大、这个规律永不改变。3、由于这个二次曲面是个单值函数、每个截面只产生一根截痕直线、这根截痕直线每个X只能得出一个二次曲面的值、所以在定义域内（X∈N*、Y∈N*）每个Y组成的截痕方程必在上述无穷等差数列群(A)中、每个X、Y组成的函数值必在某个（A）截面函数的直线值中。综合1、2、3、所述、这个二次曲面函数的值域是一个有无数大小间断区域存在的不连续的非零自然数N*、无论Y、X取值大小、间断区域都存在、尤其在Y、X趋于无穷时、间断区域始终存在。 从函数的定义域与值域的相互关系上也可进一步证实这个结论，这个非常规的二次曲面的定义域为N*非零自然数，即X=0、Y=0、是定义域外的点、但是当X=0或Y=0时已不是二次曲面而是直线Z=X或Z=Y、这直线的值域为连续的自然数N、不存在任何间断点；一个二次曲面函数在定义域内的值域是绝不可能与定义域外的值域重合的、所以这个二次曲面函数的值域不可能是连续的自然数N、只能是有间断点或间断区域的不连续的自然数N*。 对这个二次曲面有关性质搞清楚后、那么对于这个曲面函数再加上1得出的几乎相同的第二个二次曲面函数Z=2XY+X+Y+1的讨论也几乎与第一个二次曲面一样、只不过是将原来的二次曲面的顶点在Z轴上向上移动了一个单位、因此曲面的所有特性几乎不变、只不过是用Y=1、Y=2、Y=3、……Y=无穷、去截取曲面得到的截痕方程变成：3X+2、5X+3、7X+4……(2Y+1)X+Y+1。一一（B）
曾写过几篇没学过数学专业的中学生也能看懂的孪生素数猜想的证明；用的方法也是至今没见过他人用过的、用“奇数核”分析合数、素数的“同核原理”、方便简徢地证明了孪生素数猜想、但是在孪生素数的存在方式、存在区域、尤其是孪生素数存在的无穷性上、证明得不够简徢、讲得繁锁不透彻、这次直接用二次曲面函数来证明更具数理逻辑。证明前的准备如下
任意一个非零自然数n（n∈N*）、乘上2后±1就成为奇数2n±1、这个n就定义为奇数核。 任意一个非零自然数n组成2n±1、组成二个奇数、这种形式的二个奇数为“同核奇数”，n就是这二个奇数共同的核。同核奇数中的二个奇数只可能有三种配置：2n±1、两个奇数全是合数；两个奇数中一个是合数、一个是素数；两个奇数都是素数，而最后这个配置定义为“同核素数”也就是学界所称的“孪生素数”。学界所称的素数、定义为“单体素数”、单体素数的特征是它的前继数是合数、它的后续数也是合数（例如21、23、25，23的前继数是合数21、后续数是合数25、所以23称为单体素数）。单体素数的重要特性是：单体素数的核一定与对应的合数是同核的。在2n±1中、如果2n+1是单体素数、那么2n-1就一定是合数；换言之2n+1状态的单体素数、它的素数核一定存在于2n-1状态下的合数核中、这就得出一条听起来矛盾、实质上是千真万确的结论：单体素数的核一定存在于同核的合数核中。必须读懂这个数理逻辑、必须接受这个重要性质。下面看一下同核素数的存在区域、也就是学界的孪生素数存在的区域。2n±1形成的二个奇数都是素数、那么它们的核n存在于什么地方呢？按照寻找单体素数核的逻辑、2n+1状态的素数核应该存在于2n-1合数核中、但是因为是同核素数、所以2n-1也是素数不是合数、在2n-1的所有合数核中找不到这个素数核；同理2n-1状态的素数核在所有的2n+1的合数核中也是找不到的、因为同核的2n+1也是素数、2n+1的合数核中是找不到的，现在情况明晰了：同核素数也就是孪生素数的核n、在所有的2n+1的合数核中不存在、在所有的2n-1的合数核中也不存在，那只有一条路：孪生素数的核只存于：所有2n±1合数核数值以外的自然数中。
如何找出2n±1的所有奇数的合数核？先看2n+1形态、用所有奇数乘上2n+1可以得到：3×（2n+1）、5X（2n+1）、7x（2n+1）……（2m+1）x（2n+1）得到无穷多个合数、将这些合数-1再除2就得到了2n+1形态的合数核：3n+1、5n+2、7n+3……2mn+m+n。（m∈N*、n∈N*）一一（一）。再看2n-1形态。2n+1与2n-1是可以相互转换的、2n-1形态只要将核n变成n-1就可以转换成2n+1形态、即2n-1=2(n-I)+1、等式右边2(n-1)+1、它的核n-1是合数核就一定得到2n+1形态的合数核的无限合数核方程组（一）、但是这是核为n-1时的结果、要化成核为n则两边各加上1，n-1变成n、而合数核各项加1得到：3n+2、5n+3、7n+4……2mn+m+n+1，一一(二)。这个(二)就是2n-1状态下的n的无限合数核方程组。
现在顺理成章了、自然数中所有的奇数都在2n±1中无论是2n+1状态还是2n-1状态、它们的合数核都在上述(一)或(二)中、也就讲奇数所有的合数核都已全部找出来了、2n+1的在（一）中、2n-1的在（二）中。做完了最后证明的所有准备后、回到关键问题：同核素数即孪生素数的核的所在区域、上面己提到这些核一不在2n+1形态的合数核（一）区域中、也不在2n-1形态的合数核（二）区城中、而是在（一）、（二）、以外的自然数N*中、所以问题集中到（一）、（二）、无穷合数核群数值以外的区域是否存在、而且当m、n趋于无穷时是否仍然存在？这就又回到文章开始提到的二个非常規的二次曲面了；明眼人已经明白了、二次曲面的值域（A）的无穷直线方程组、与2n+1的合数核无穷等差数列方程组（一）是一回事、（A）与（一）完全相同、只是各自使用的字母不同而已；同理（B）与（二）也是完全相同的。所以（A）、（B）的二次曲面值域的所有性质、与（一）、（二）、2n±1所有合数核无穷等差数列群取值的范围和性质是完全一样的。孪生素数猜想要证明什么？一要证明孪生素数在自然数中是必然存在的，二是要证明在自然数趋向无穷时孪生素数也是存在的、无穷是个趋势性概念、不是定量概念、无穷之后还有无穷、无穷是无边际的、所以只要证明孪生素数在自然数趋向无穷这个概念时还存在、那么孪生素数就一定有无穷多对。本文是应用核概念来论述的、一对孪生素数必有一个孪生素数核、这个孪生素数核无论在自然数什么位置出现、那个位置必有一对孪生素数、自然数趋于无穷时出现孪生素数核、那么在那个位置也一定有孪生素数。
最后结论：1、孪生素数核不在全部合数核方程组(一)、(二)的各方程值内、就一定在(一)、(二)、各方程值外的自然数中。2、(一)、与(A)，(二)、与(B)无论在展现形式上还是在内在数理逻辑上完全是相同的、只不过(一)、(二)用合数核方程来表达、而(A)、(B)、则从解析几何二次曲面的值域来表达。3、(A)、(B)二个二次曲面的值域性质已确认：值域不可能对所有自然数进行覆盖、而是一个有无数自然数间断间隔的不连续的自然数集合、形象的描述就是在一根通向无穷的自然数轴上、有无数不在值域内的自然数间断点、或间断区的存在、直到无穷这个特性不变，也就是随着截面数无限增多、方程自变量的趋于无穷的情况下、值城始终存在间断区或间断点这个特性保持不变。4、（A）、（B）值域就是(一)、(二)即2n±1所有奇数的合数核的全部、孪生素数核不在(一)、(二)内、而在(一)、(二)以外、也就是在(A)、(B)值域外的自然数中、也就是在值域不连续的自然数间断点上、而一个自然数间断点就是一个孪生素数核、产生一对孪生素数；由于趋于无穷时、存在间断点的这个特性永远存在、所以趋向无穷时孪生素数核也必定存在、也就是孪生素数有无穷对这个事实确立。孪生素数猜想证明完成。
非专业人士文章、难免存在众多不足和错误以及人为的或码字软件的笔误、望能得到斧正。尤其欢迎各行各业的或是在学的数学爱好者以及不吝赐教的专业人士指点。上述各数理推导中的一些小结论、或结果若能找出反例、即能证伪、本人也能欣然接受、不至于再误导他人。
