如果p是一个素数，并且p+2也是一个素数，那么p与p+2构成一对孪生素数。
像（3，5）、（5，7）、（11，13）都是孪生素数对。
自然数中是否有无穷对孪生素数，这是一个有待证明的数学问题，被称为孪生素数猜想。
要证明这个问题，我们必须先了解素数以及孪生素数的分布规律。然而素数及孪生素数的分布规律是几乎无迹可寻的，所以关于素数的问题，差不多总是一个难题。
1. 有关孪生素数的一个分布现象
下面要介绍一个我发现的孪生素数的分布现象。仔细观察素数表，我们会发现：
相邻素数的平方数之间都有至少2对以上孪生素数存在！
在4～9（2²～3²）之间，有：（3，5）、（5，7）；
在9～25（3²～5²）之间，有：（11，13）、（17，19）；
在25～49（5²～7²）之间，有：（29，31）、（41，43）；
在49～121（7²～11²）之间，有：（59，61）、（71，73）、（101，103）、（107，109）；
在121～169（11²～13²）之间，有：（137，139）、（149，151）；
在169～289（13²～17²）之间，有：（179，181）、（191，193）、（197，199）、（227，229）、（239，241）、（269，271）、（281，283）；
在289～361（17²～19²）之间，有：（311，313）、（347，349）
在361～529（19²～23²）之间，有：（419，421）、（431，433）、（461，463）、（521，523）
…………
上述规律是否具普适性呢？我们不妨可以做一猜想。对此猜想若能予以证明，也许是另一条通往孪生素数猜想证明的道路。
2. 对上述分布规律的证明
用P(n）表示自然数中的第n个素数。
有如下一个问题：
下述类型的自然数m在全体自然数的比例有多少：m以及m+2均不能为所有不大于P(n）的素数所整除？
假设这个比例为λ，那么答案是：
λ＝1/2·(1﹣2/3)(1－2/5)(1－2/7)(1－2/11)(1－2/13)……（1－2/P(n))
我们要以这个结果为基础来证明上一节所述的分布规律。
这个结果是不难证明的。
证明如下：
不妨考虑类似埃拉托色尼筛法筛取素数的筛法过程，计算每一个步骤中筛掉的数以及保留下来的数的比例。步骤如下：
① 首先筛除偶数，此时全体自然数中剩下奇数的比例是1-1/2=1/2；
② 而在所有奇数中，满足要求的奇数m必是属于3k+2形式的奇数，不能是3k(除了3）或3k+1这两种形式的奇数，而3k+2形式的奇数占全体奇数的比例因此是1-2/3=1/3，其占全体自然数的比例则是：1/2×(1-2/3)＝1/6。所以，本轮筛除后剩下的数是3以及形式为6k-1的奇数。
③ 由上一步筛剩下而所剩比例为1/6的自然数，对于5k，5k+1，5k+2，5k+3，5k+4这五种形式来说也是分布均匀的，因此在此基础上继续在这筛剩的1/6的数中筛除属于5k及5k+3这两种类型的数，于是等于再继续筛除剩下的1/6的2/5，由此而再剩下的比例是：1/2×(1﹣2/3)×(1－2/5)=1/10。剩下的数为3、5以及如下3种形式的数：30k-19，30k-13，30k-1。
④ 同理进一步考虑关于素数7。我们将得到剩下的比例是：1/2×(1﹣2/3)×(1－2/5)×(1－2/7)=1/14。剩下的数是3、5、7以及如下15种形式的奇数：210k-199, 210k-193，210k-181，210k-169，210k-151，210k-139，210k-109，210k-103，210k-73, 210k-61，210k-43，210k-31, 210k-19, 210k-13，210k-1。（提示：210=2×3×5×7＝14×15）
………………
⑤ 同理，每一次几乎应筛除前次筛除剩余数的2/P(i)。
⑥ 因此，最后剩下的数在全体自然数中的比例是：
λ＝1/2·∏(1－2/P(i)) (∏为乘积符号，i的取值为从2至n)
＝1/2·(1﹣2/3)(1－2/5)(1－2/7)(1－2/11)(1－2/13)……（1－2/P(n))
这个证明到此基本上结束了，但存在着一个小小的漏洞。因为我们在描述上述筛除的过程中，为了计算比例方便，是把所有不大于P(n)的使得m及m+2构成孪生素数的m也视为筛除忽略不计了。
所以我们有必要说明：考虑到这些被忽略的自然数m的数量有限，相比于全体自然数中的无穷，其比例是趋向于无穷小的，所以从整体而言，对λ的取值是几乎不构成影响的。因为λ的值事实上应该看作是一个极限值。
证明完毕。
不妨将最后筛剩下的数称为M数。显然，如果自然数m是一个M数并且足够小的话，（m，m+2)将会是一对孪生素数。
因此接下来我们不妨假设有一对足够大的孪生素数对P(n)及P(n+1)，然后思考如下问题：
在孪生素数平方数区间（P(n)²，P(n+1)²）中存在多少属于M数的自然数m：m以及m+2均不能为所有不大于P(n)的素数所整除?
假设存在X个这样的自然数m，由于：
(P(n+1)²－P(n)²) × λ＝(P(n+1)＋P(n))(P(n+1)－P(n)) × λ＝4λ(P(n)＋1)
从而我们可以肯定有如下关系式存在：
X≥[4λ(P(n)＋1)] (这里中括号表取整)
λ是使得m以及m+2均不能为所有不大于P(n)的素数整除的所有自然数m构成的M数在全体自然数中所占的比例。
对自然数区间（P(n)²，P(n+1)²）来说，λ则是一个近似比例，一般是略小的近似。也就是说在（P(n)²，P(n+1)²）区间中，筛剩下来的数的实际比例一般会略大于λ。
所以，满足要求的自然数m在（P(n)²，P(n+1)²）区间中的实际个数X也就必然不会少于[4λ(P(n)＋1)] (这里中括号表取整)。
我们不妨再做进一步说明:
规定自然数m为下述：m以及m+2都不能为所有不大于P(n)的素数整除。符合条件的这样的自然数m根据我们之前的定义可被称为M数。假设在[1，P(n)²]中M数的实际比例是λ(n)，在[1，P(n+1)²]中M数实际比例是λ(n+1)，在[1，P(n+2)²]中M数实际比例是λ(n+2)，……，由λ(n)、λ(n+1)、λ(n+2)……构成的无穷数列各项将会是一个总体趋势递减，极限为λ的数列。也就是说，假设f(n)=λ(n)，那么limf(n)=λ (n→∞)。
理由也很简单：
首先，在任意有限长度的等差数列中，筛除所有不能为素数P(i)整除或余数为P(i)－2的数，不可能筛除的数的比例刚好为1/P(i)，除非该数列的项数刚好是P(i)的整数倍，否则筛除的非M数的实际比例总是会略微小于1/P(i)。其次，正如前述证明所述，有些6k-1形式的素数不能筛除而被忽略不计视为筛除。因此综合如上，最后筛剩下来的M数在自然数中的实际比例一定会略大于λ。
然后我们再观察：
4λ(P(n)＋1)＝4[P(n)＋1]×[1/2·(1﹣2/3)(1－2/5)(1－2/7)(1－2/11)(1－2/13)……（1－2/P(n))]
＝2[P(n)＋1]·{[3×5×9×11×……(P(n)－2)]/[3×5×7×11×13×……×P(n)]}
＞2[P(n)＋1]×1/P(n)
＞2
(提示：观察[3×5×9×11×……(P(n)－2)]/[3×5×7×11×13×……×P(n)]的分子与分母的特征可直接推出上述结果）
也就是说，在孪生素数平方数区间（P(n)²，P(n+1)²）中，至少存在2个以上属于M数的自然数m，m以及m+2不能为所有不大于P(n)的素数整除，并且这样的自然数m以及m+2还足够小，由于它们不可能同时又是合数又没有包含不大于P(n)的素数因子，从而这样的自然数m以及m+2必都是素数，也即为一对孪生素数。
不妨再假设（P(x)，P(x+1))是（P(n)²，P(n+1)²）区间中的一对孪生素数，于是同理可证（P(x)²，P(x+1)²）中也必有孪生素数存在。这意味着自然数中不可能存在最大的孪生素数对，也就等价于证明了孪生素数猜想。
3. 进一步的更具普适性的分布规律
如果相邻素数平方数区间（P(n)²，P(n+1)²）中的（P(n)，P(n+1)）不是孪生素数，而是一般性的相邻素数，譬如43与47，那么情况又会怎样呢？
我们假设P(n+1)－P(n)＝2d (d为自然数），于是有：
(P(n+1)²－P(n)²) × λ＝4λd(P(n)＋d)
＝4d[P(n)＋d]×[1/2·(1﹣2/3)(1－2/5)(1－2/7)(1－2/11)(1－2/13)……（1－2/P(n))]
＝2d[P(n)＋d]·{[3×5×9×11×……(P(n)－2)]/[3×5×7×11×13×……×P(n)]}
＞2d[P(n)＋d]×1/P(n)
＞2d
这意味着如果相邻素数P(n+1)与P(n)之间的差为2d，那么在区间（P(n)²，P(n+1)²）中至少有2d对孪生素数。这可说是一个相当令人惊奇的规律。我们去对照素数表检验，会发现确实是成立的。
4. λ的精确度的验证
若我们令n=11，P(n)=31，此时：
λ＝1/2×1/3×3/5×5/7×9/11×11/13×15/17×17/19×21/23×27/29×29/31
≈ 0.031
由此我们可以借此估算1000以内的孪生素数的对数将会不少于：1000×0.031＝31。
1000以内孪生素数的实际对数为35，可见这个估值还是相当接近的。
根据我们前述第2节证明中的描述，λ值的得出过程有意忽略了相关的孪生素数对。在这个例子中，等于我们忽略了（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31），总计5对。若再加上，则31+5=36，这个值比实际多出了1对。
