(一)。仙人之路。孪生素数猜想是最著名的数学难题之一，孪生素数猜想已经困扰数学家一个多世纪了。
如果能够解决这一难题，我们把一对彼此相差2的质数叫做孪生质数，比如5和7，17和19等等。孪生质数猜想预测，在所有的自然数或整数中，这样的质数有无数对。在过去十年中，数学家们在这一问题上做出了突破性的进展，但是还远没到解决它的程度。哥伦比亚大学的威尔·萨温（Will Sawin）和威斯康辛大学麦迪逊分校的马克·舒斯特曼（Mark Shusterman）给出了一份新证明。他们在一个更小但依然十分重要的数学世界——有限域系统（finite field system）中证明了孪生质数猜想是正确的。在这样的系统下，人们可以只处理少量的数字。
麻雀虽小，五脏俱全。有限域系统仍保留着整数域的许多性质。数学家们尝试在有限域中回答算术学的问题，并期望将这些结果应用到整数中去。“说起来可能有些天真：我们的最终梦想是，如果对有限域的世界理解得足够好，你就能解释整数世界。”梅纳德说。
在有限域系统中，除了证明孪生质数猜想，萨温和舒斯特曼还得到了一个效力更广的结果。他们证明了在短间隔中，孪生质数究竟多久出现一次。这一结果对孪生质数现象可谓是掌握到了极度精确的地步。数学家们做梦都想在普通的数字上得到这样的结论，所以，凡是相关的证明，他们都会找来细细研究，以期得到新思路，新启发。
新型质数
最著名的孪生质数猜想说的是，有无数对彼此相差2的质数。但是一个更加广义的命题预测，质数对的差距可以是任意常数，比如，你可以在自然数中找到无数对像3和7一样相差4的质数，或者像293和307一样相差14的质数。
这个更加广义的命题是法国数学家阿尔方斯·德·波林那克（Alphonse de Polignac） 在1849年提出的。在接下来的160年中，数学家们进展甚微。但是到了2013年，堡垒被攻破了，或者至少出现了显著的裂痕。那年张益唐证明了有无数对间隔不超过7000 0000的孪生质数。在接下来的一年中，其他数学家，包括梅纳德和陶哲轩，显著缩小了这一质数间隔。目前，已经被证明的孪生质数猜想，其间隔已经缩小至246。
但是，孪生质数问题的进展就此停滞了，数学家明白，如果要彻底解决这一问题，他们需要一个全新的思路。而有限域系统就是一个寻找新思路的好地方。
为了构建一个有限域，可以先从自然数中提取一个有限的子集，可以选取头五个（或者任意质数个）数字。我们用表盘（而不是通常使用的数轴）来将这些数字直观地表示出来。
直觉会告诉你，运算沿着顺时针方向进行。在有限域系统中，4+3是多少？我们可以从4开始，沿着表面数三个格子，到达2的位置。减法、乘法和除法的工作原理也是相似的。
图注：有限数字系统。一个有限域含有有限个元素。（通常是质数个）左图展示了5个元素的有限域，右图是在此有限域中的加法运算过程。
只有一个陷阱。典型的质数概念在有限域系统里似乎讲不通。在有限域中，每个数字都可以被其它数整除。例如，7通常不能被3整除，但在一个有5个元素的有限域中却是可以的。那是因为，在这个有限域中，7和12是同一个数字，它们都降落在钟面上2的位置。所以7除以3等于12除以3，12除以3等于4。
有限域中不存在质数，那么，在有限域中我们用质数多项式来类比整数域中的质数。有限域中的孪生质数猜想讨论的，是像x^2+1这样的数学表达式。
质数多项式是什么？对于一个只包含1，2，3的有限域，这个有限域内的多项式的系数只能从1，2，3中选取。而“质数”多项式就是不能被因式分解的多项式。所以x^2+x+2是质数多项式，因为它不能被分解，但x^2-1不是质数多项式，它是x+1和x-1的乘积。
接下来，你自然会问到孪生质数多项式：一对多项式，它们既是质数多项式，又隔着一个固定的间隙。例如，多项式x^2+x+2是质数多项式，x^2+2x+2也是质数多项式。两者相差多项式x（第一个多项式加x就得到第二个）。
有限域的孪生质数猜想推测，有限域中存在着无数多对孪生质数多项式，它们不一定相距x，可以相距任意间隔。
图注：素数多项式是什么？一个素数多项式只有一个素数因子式——它自己。如上图：x^2+x+2具有素数性质，因为它不能被因式分解；x^2-1不具有素数性质，它是x+1和x-1的乘积。
庖丁解牛
有限域和质数多项式看起来可能太不自然了，人为设计的痕迹明显，在研究一般数字方面用处不大。但它们很像飓风模拟器——一个自给自足的独立宇宙，能够对更广阔世界中的现象提供洞见。
舒斯特曼说：“把整数问题和多项式问题相互转化，这一做法自古就有。虽然转化来转化去，问题可能依然困难，但多项式版本的问题更可解了。”
20世纪40年代，安德烈·威尔（André Weil）将有限域系统中的算术学，准确地应用到了整数域。于是，有限域突然变得声名显赫起来。威尔利用有限域和整数域的这种联系达到了惊人的效果。他证明了数学中最重要的问题——黎曼猜想——的简化版本，即关于有限域中曲线的问题（也被称作几何黎曼猜想）。这一证明，再加上威尔提出的一系列附加猜想——威尔猜想，让人们确信，在数学世界的探索中，有限域是一片景色绮丽的富饶之地。
（二）。孪生素数公式里的新解。
看一看下面一个有关素数在自然整数数轴上，1，2，3。。。。。。N。的一个排列现象，即：
2， 3， 4， 5， 6， 7。
8， 9， 10，1 1 12， 13 。
14 15，16，17，18， 19。
。。。。。。
这样就变成了一个所有自然整数2，3。4。。。。。。的方阵。就象这样子一直写下去，你就会发现这样一个规律：所有素数都排列在6的倍数的两边。这样就可以得出一个所谓求取素数的公式。即：6N士1。这个所谓的求取素数的公式，我曾在上世纪八九十年代的《我们爱科学》杂志上看到过。被称为求取素数的公式。 如果将其方阵变幻一下，会是个什么样子呢。如果将自然整中的奇数1，3，5，7，。。。。。。按每三个数排列成方阵。 即： 1， 3 ， 5， A 7 ， 9， 11， A 13， 15， 17， A 19 ， 21， 23， A 25， 27， 29， A. 。。。 。。。 从上面的这个方阵中可以看出：（1）。它是上面的所谓素数公式的方陈排列进行了一个简化，变成了一个3N土2的公式。（2）所有3的倍数被排在了中间。 从上面的排列中可以看出：在自然整数中奇数的排列中，所有素数都可以以3N十1，或3N一1，式中求出，而孪生素数可以写成3N士1，或3N干1，的形式。 那么，怎么用方阵式求出素数和孪生素数呢，其实很简单，你只要注意一下，上面的方阵上，3的平方等于9，9以下两边的数没有一个合数，这样就求出了1和3，5和7两对孪生素数，和1，3，5，7，四素数，这样，3的平方9以下所有素数就都求出来了。
那么，9以上的素数和孪生素数怎么能求出呢，其实很简单，你只需要把3的倍数两边的数分别顺次以每5个数字为一行，列出两个方阵，这样就把5的倍数请到了方阵的中间，这两个方阵就叫做5的方阵，这样就可以把5的平方等于25以下所有的素数和孪生素数求出来了.。如法炮制，可以列出素数7的八个方阵。求出7的平方等干49以下所有的素数和孪生素数了。如此炮制下去。。。。。，就可以列出自然数整数中所含全部素数的方阵，而求出他们所含有的全部素数和孪生素数了。
这也是一个求取素数的筛法，只需要列出素数的方阵，把素数的倍数请到方阵的中间，就万事大吉了，你说简单吧。尊敬的读者。你试一下，能列出多少个素数的方阵呢，有兴不防一试。
