初步知识
双胞胎质数是间隔为2的质数对。也就是说，如果P和p 2都是小数(P，p 2)，则双胞胎小数。
② 孪生素数猜想即如下命题猜想：自然数中存在无穷多对孪生素数。
一、关于T集数与S集数的定义
不难理解：
除了(3，5)这一对孪生素数，所有的孪生素数对都是集合X＝{(6x－1，6x＋1) | x为任意自然数} 中的元素。
原因是：6x，6x±2，6x±3和6x±4型的自然数都必是合数。
因此，我们可以借此将全体自然数集N分成两大类互补的集合，不妨称为集合T与集合S，定义如下：
定义一
集合T:＝{x | x使得(6x－1，6x＋1)必是孪生素数，x∈N}
集合S:＝{x | x使得(6x－1，6x＋1)不是孪生素数，x∈N}
于是进一步有如下定义：
定义二
任意一个集合T中的元素都是一个T集数；
任意一个集合S中的元素都是一个非T集数或S集数。
易于验证譬如自然数1，2，3，5，7，10，12都是T集数，而4，6，8，9，11，13，14都是S集数。
二、两个公理与一个根本定理
由定义一与定义二，有两个根本公理：
公理一
任意一个自然数，不是T集数便是S集数。
解释：
以能否为2整除作标准，我们将自然数分成了两大类：偶数与奇数。
类似地，以是否属于集合T的元素作标准，我们也可以将自然数分成两大类：T集数与非T集数(S集数)。
公理二
任意一个自然数集的非空子集Y，必是如下三者之一：
① Y是一个S集的子集；
② Y是一个T集的子集；
③ Y是一个S集的子集与T集的子集的并集。
解释：
任意一个非空的自然数集子集Y的元素只可能：或者其元素全部是S集数，或者其元素全部是T集数，或者其元素既有S集数又有T集数。
其元素全部是S集数时，Y集是一个S集的子集；
其元素全部是T集数时，Y集是一个T集的子集；
其元素既有S集数又有T集数时，Y集是一个S集的子集与T集的子集的并集。
根据公理一、公理二有如下根本定理：
定理一
任意一个不是S集的非空子集的自然数集必有元素是T集数。
证明：
假设集合A不是一个S集的子集的自然数集。
根据公理二，集合A或者是一个T集的子集，或者是一个S集的子集与T集的子集的并集。
如果集合A是一个T集的子集，那么集合A中所有元素都是T集数；
如果集合A是一个S集的子集与T集的子集的并集，那么集合A中也必有元素是T集数。
综上所述，任意一个不是S集的子集的自然数集，都必有元素是T集数。
证明完毕！
三、T集数与S集数的判定定理
那么：怎样判别T集数与S集数呢？
我们有如下判定定理：
定理二
集合S＝{ {5k±1}，{7k±1}，{11k±2}，{13k±2}，{17k±3}，{19k±3}，……}
＝{ x | x＝pk±b，p是任意素数，k是任意自然数，b为整数并且b＝(p－1)/6 或 b＝(p＋1)/6 }
(注：{pk±(5p＋1)/6}等价于{pk±(p－1)/6}，{pk±(5p－1)/6}等价于{pk±(p＋1)/6}，因此不再作另行考虑，下同)
为了证明定理二，我们先来证明如下定理三：
定理三
如果自然数m∈{ x | x＝pk±b，p是任意素数，k是任意自然数，b为整数并且b＝(p－1)/6 或 b＝(p＋1)/6 }；那么，m∈S。
证明：
㈠ 当m＝pk＋b时
6m－1＝6pk＋6b－1
6m＋1＝6pk＋6b＋1，于是有：
① 当b＝(p－1)/6时，也即p为6n＋1型的素数时，必有
6m＋1＝6pk＋p＝p(6k＋1)为合数；
② 当b＝(p＋1)/6时，也即p为6n－1型的素数时，必有
6m－1＝6pk＋p＝p(6k＋1)为合数；
㈡ 当m＝pk－b时
6x－1＝6pk－6b－1
6x＋1＝6pk－6b＋1，于是有：
① 当b＝(p－1)/6时，也即p为6n＋1型的素数时，必有
6m－1＝6pk－p＝p(6k－1)为合数；
② 当b＝(p＋1)/6时，也即p为6n－1型的素数时，必有
6m＋1＝6pk－p＝p(6k－1)为合数；
证明完毕！
接下来我们来证明定理三的逆命题：
定理四
如果自然数m∈S，那么m∈{x | x＝pk±b，p是任意素数，k是任意自然数，b为整数并且b＝(p－1)/6 或 b＝(p＋1)/6}。
证明：
如果m∈S，那么或者6m－1是合数或者6m＋1是合数。
㈠ 不妨假设6m－1＝py (显然p是一大于3的奇素数，y是一非3倍数的奇数)
① 当p是6n－1型素数时
不妨设 y＝6k＋1
于是有 m＝(py＋1)/6＝(6pk＋p＋1)/6＝pk＋(p＋1)/6
② 当p是6n＋1型素数时
不妨设 y＝6k－1
于是有 m＝(py＋1)/6＝(6pk－p＋1)/6＝pk－(p－1)/6
㈡ 又不妨设6m＋1＝py (显然p是一大于3的奇素数，y是一非3倍数的奇数)
① 当p是6n－1型素数时
不妨设 y＝6k－1
于是有 m＝(py－1)/6＝(6pk－p－1)/6＝pk－(p＋1)/6
② 当p是6n＋1型素数时
不妨设 y＝6k＋1
于是有 m＝(py－1)/6＝(6pk＋p－1)/6＝pk＋(p－1)/6
综合㈠与㈡，当m∈S时，必有m∈{x | x＝pk±b，p是任意素数，k是任意自然数，b为整数并且b＝(p－1)/6 或 b＝(p＋1)/6}。
证明完毕！
通过定理三与定理四，我们分别证明了：
当自然数m∈{x | x＝pk±b，p是任意素数，k是任意自然数，b为整数并且b＝(p－1)/6 或 b＝(p＋1)/6} 时，m∈S;
当自然数m∈S时，m∈{x | x＝pk±b，p是任意素数，k是任意自然数，b为整数并且b＝(p－1)/6 或 b＝(p＋1)/6} 。
定理三与定理四联合可以直接推出定理二的成立，也即：
集合S＝{x | x＝pk±b，p是任意素数，k是任意自然数，b为整数并且b＝(p－1)/6 或 b＝(p＋1)/6}。
四、定理二的两个重要推论
定理二将带来如下重要推论：
定理二的推论一
如果：
① q是一个素数；
② r为一整数，并且r∈[0，p－1]以及总有r≠(q－1)/6，(q＋1)/6，(5q＋1)/6或(5q－1)/6；
那么：
集合H＝{ x | x＝qk±r，k是任意自然数 } 必不是一个S集，必有T集数。
证明：
由于：
(5q＋1)/6与－(q－1)/6对模q同余，(5q－1)/6与－(q＋1)/6对模q同余。
因此：
当r≠(q－1)/6或(q＋1)/6或(5q＋1)/6或(5q－1)/6时
必有：
{qk±r}≠{qk±(q－1)/6} 或 {qk±(q＋1)/6}
因此根据定理二，可以判定：
集合{qk＋r}与{qk－r}都不是一个S集的子集。
而根据定理一，任意一个自然数集不是S集的非空子集都必有T集数，从而集合{qk＋r}与{qk－r}都必有T集数。
证明完毕！
这个推论非常重要。
于是根据定理二及其推论，我们可以判定：
类似集合{29k＋5}的集合必是S集的子集，因为：如果x∈{29k﹢5}，那么x∈S;
这是易于验证的：
对于x∈{29k＋5}，不妨设x＝29m＋5，于是有6x－1＝6(29m＋5)－1＝6·29m＋29＝29(6m＋1)必是合数并且有素因子29。
与此不同的是
类似集合{29k＋4}的集合则既不是一个T集的子集也不是一个S集的子集，而是一个T集的子集与S集的子集的并集。
我们不妨验证如下：
自然数33∈{29k＋4}并且33∈T，因为(6×33－1，6×33＋1)＝(197，199)是孪生素数；
而自然数62∈{29k＋4}并且62∈S，因为(6×62－1，6×62＋1)＝(371，373)不是孪生素数，其中371＝7×53，显然62∈{7k－1}。
因此{29k＋4}必是一个T集的子集与S集的子集的并集。
由定理二的推论一则显然又有推论二：
推论二
存在无穷个由等差数列构成的自然数无穷集不是一个S集的子集！
证明：
这个证明是非常简单的。
如果p是一个素数，无论p取何值，由等差数列构成的集合{pk}根据定理二必然不是一个S集的子集。
由于素数有无穷多，因此必然存在无穷个由等差数列构成的自然数无穷集不是一个S集的子集。
证明完毕！
五、孪生素数猜想的证明
我们可以开始证明孪生素数猜想了：
定理五
不存在最大的孪生素数！
证明：
我们利用反证法。
假设存在最大的孪生素数，不妨设为(q，q＋2)。根据定理二的推论一，集合D＝{x | x＝(q+2)k，k为任意自然数} 必不是一个S集的子集，从而必有元素是T集数。
集合D中最小的元素是q＋2，因此：
如果q＋2是T集数，那么(6(q＋2)－1，6(q＋2)＋1)是比(q，q＋2)更大的孪生素数，这与假设矛盾；
如果q＋2不是T集数，则不妨设集合D中必有T集数w＞q＋2，从而(6w－1，6w＋1)是比(q，q＋2)更大的孪生素数，这也与假设矛盾。
因此，自然数中存在最大的孪生素数的假设不成立。
从而自然数中必不存在最大的孪生素数，因此必有无穷多孪生素数。
证明完毕！
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