所有自然数x{ x | x=13k 2，k是任意自然数}，所有(6x-1，6x 1)都不是双胞胎小数。这些自然数如下：
15，28，41，54，67，
为什么会这样？如果将X=13k 2赋值为6x 1，您将看到：
6x 1=6 (13k 2) 1=78k 13必须是总和，并且必须有元素13。
同样的道理：
x＝5k－1令6x＋1必是合数且有素因子5；
x＝5k＋1令6x－1必是合数且有素因子5；
x＝7k－1令6x－1必是合数且有素因子7；
x＝7k＋1令6x＋1必是合数且有素因子7；
……
归纳而言：
定理一
如果p是一个6k－1型素数，如5，11，17，……等，
当x＝pk－(p＋1)/6时，6x＋1必是合数并且必有素因子p；
当x＝pk＋(p＋1)/6时，6x－1必是合数并且必有素因子p。
如果p是一个6k＋1型素数，如7，13，19，……等，
当x＝pk－(p－1)/6时，6x－1必是合数并且必有素因子p；
当x＝pk＋(p－1)/6时，6x＋1必是合数并且必有素因子p。
倒过来说，若(6x－1，6x＋1)不是孪生素数，那么或者6x－1是合数或者6x＋1是合数，则有：
定理二
若6x－1是合数，总有6x－1＝py (p为某一奇素数，y为某一非3倍数奇数）
当p为6k－1型素数时，不妨设y=6m＋1 (m为某一自然数），于是有x＝pm＋(p＋1)/6;
当p为6k＋1型素数时，不妨设y=6m－1 (m为某一自然数），于是有x＝pm－(p－1)/6；
若6x＋1是合数，总有6x－1＝py (p为某一奇素数，y为某一非3倍数奇数）
当p为6k－1型素数时，不妨设y=6m－1 (m为某一自然数），于是有x＝pm－(p＋1)/6;
当p为6k＋1型素数时，不妨设y=6m＋1 (m为某一自然数），于是有x＝pm＋(p－1)/6；
定理一及定理二均易证，这里不赘述。
这意味着：
定理三：
如果集合A={x | x＝pk±b，p≥5且p是素数，b为整数b∈[0，p－1]且b≠(p±1)/6，k为任意自然数} ；
那么集合B={(6x－1，6x＋1) | x∈A} 中必有孪生素数存在。
证明：
我们不妨举一个例子来理解定理三的实质。
譬如集合{17k+4}是符合集合A描述的集合类型，我们易于发现38∈{17k+4}并且(6×38－1，6×38＋1)＝(227，229)是一对孪生素数。虽然x∈{17k+4}时(6x－1，6x＋1)未必就是孪生素数，但是显然其相对应的集合{(6x－1，6x＋1) | x∈{17k＋4}} 中必有孪生素数存在。
这样的规律我们凭直觉就会知道几乎是不可能会有例外的，虽然如此，我们也不能依靠继续穷举来证明上述规律。因此，接下来我们必须做更进一步严格的普适性的证明，以证明我们的直觉。这个证明看起来初等但其实不太简单，因为涉及到解抽象的丢番图方程(求解其解为整数且其元多于方程数的方程)其实从来就不会被认为是容易的。
㈠ 我们不妨先考虑集合A＝{pk﹢b}的情形。
⑴
然后不妨先考虑pk＋b＝qm＋(q＋1)/6 (根据定理二)的情形，在这里：q为一素数且q≥5以及q≠p，m为自然数。
则有：k＝[qm＋(q＋1)/6－b]/p
在上式中，我们要将b、p视为常数，k、q、m视为变量。如果集合{(6x－1，6x＋1) | x∈{pk＋b}}必无孪生素数，必须始终存在q、m的取值使得k的取值可遍历任意自然数。（为什么？这个地方想明白了就知道本文的证明一定是对的）
为了方便从丢番图方程的角度来考察这个问题，我们不妨令k=z，令q＝x，m＝y，也即将这三者视为未知量。
于是可将上述等式改造为如下方程：
z＝[xy＋(x＋1)/6－b]/p。
①
为简化证明，我们不妨先令p＞7，b＝1(必符合b≠(p±1)/6的条件)。
于是有 z＝[xy－1＋(x＋1)/6]/p
于是问题就转化为：存在不存在一个素数常数p，使得对于x为大于3的素数，总有相应的自然数y，使得z的取值可遍历任意自然数。
也即，是否下列每一个丢番图方程都必有整数解：
xy－1＋(x＋1)/6＝p
xy－1＋(x＋1)/6＝2p
xy－1＋(x＋1)/6＝3p
xy－1＋(x＋1)/6＝4p
xy－1＋(x＋1)/6＝5p
……
也即须得下述丢番图方程：
6xy＋x＋1＝6zp＋6 (z遍历任意自然数）总有整数解。
上述丢番图方程也即：
6xy＋x＋1＝6(zp＋1)；
ⅰ 显然必须素数x＝6r－1(r为自然数)。
ⅱ 将x＝5，11，17，……分别代入。
当x＝5时，则有5y=zp；
当x＝11时，则有11y＋1＝zp；
当x＝17时，则有17y＋2＝zp;
……
如果上述系列成立，等价于必须有：
当x＝5时，则有5y/p＝z；
当x＝11时，则有(11y＋1)/p＝z；
当x＝17时，则有(17y＋2)/p＝z;
……
如果上述方程的解使得z遍历自然数，则意味自然数集n是可由下述筛集：
{{5y/p}，{(11y＋1)/p}，{(17y＋2)/p}，{(23y＋3)/p}，{(29y＋4)/p}，……}所完全筛净。
上述筛集是与埃拉托色尼筛法的筛集其实是可视为同构的(事实上更为稀疏)。正如我们不能用埃拉托色尼筛法筛净1～100中的自然数，上述筛集中，无论p取何种素数，也不可能筛净筛净1～100中的自然数。
从而上述方程必不可能使得z可遍历自然数。
ⅲ 综合上述，若素数p≠x，不管x作为素数取何值，丢番图方程6xy＋x＋1＝6zp＋6 不可能对于z取任意自然数时总有解。
②
同理可证b≠1并且b∈[0，p－1]以及b≠(p±1)/6时的其他情形，以及p=5、7及相应的合适b取值的情形。
⑵
同理可证pk＋b＝qm－(q＋1)/6，pk＋b＝qm＋(q－1)/6，pk＋b＝qm－(q－1)/6这三种情形。
㈡ 同理可证集合A＝{pk－b}时的情形。
证明完毕！
定理三的成立意味着什么呢？
事实上，孪生素数猜想是定理三的一个自然推论。
对于集合A={pk＋b}，由于p可以取值为任意大的素数，从而b也可以取值为任意大(比如b总可取值为p－1)，而集合A＝{pk＋b}中的最小值是视p与b的取值而定的。由于与集合A对应的集合B中必有孪生素数。由此则必不存在最大的孪生素数，因为总是可以构造出p、b取值足够大的集合A，使得对应的集合B中的孪生素数必大于所设的任意孪生素数。这是易于用反证法来证明的，在此就不赘述了。
