►你知道吗？天气预报其实是一种随机变量预报
导语：
如今，“概率”一词在我们的生活中随处可见，被人们使用得越来越广泛和频繁。这是一个多变的世界，一切都在变化，由变量构成了我们的世界，其中包括决定性变量。例如，新闻中提到的“北京时间2016年11月3日20时43分，长征五号在海南文昌成功发射”，此处的时间、地点都是固定的决定性变量。我们的生活中还有许多随机变量，比如明天霾污染的程度、某公司的股票值等等，都是不确定的随机变量。
随机变量一般用概率来描述，生活中处处是随机变量，因而处处有概率。气象预报员会告诉你今天早上8点钟的“降水概率”是90%；股市的信息可能是一种股票3个月之后翻倍的概率是67%；你的朋友会告诉你，你所买彩票的中头奖的概率只有一亿分之一！概率可以被粗糙地定义为事件发生的频率，即发生次数与总次数的比值。更准确地说，是总次数趋于无限时，这个比值趋近的极限。
今天，我们就来聊聊概率中的随机变量以及其中的概率论悖论。
撰文 | 张天蓉 （美国德州大学奥斯汀分校理论物理博士）
责编 | 吕浩然
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概率论专栏：
上帝教人掷骰子——“神童”帕斯卡与概率论
虽然概率的定义不难懂，似乎人人都能理解，但你可能不知道，概率计算的结果经常违背我们的直觉。概率论中有许多难以解释、似是而非的悖论，从中人们得到的结论是：不能完全相信直觉！
人类的大脑有它的误区和盲点，就像开汽车的驾驶员视觉中有“盲点”一样，需要几面反光镜来帮助克服。我们的思维过程中也有盲点，需要计算和思考来帮助澄清。概率论是一个经常出现与直觉相悖的奇怪结论的领域，连数学家也是稍有不慎便会错得一塌糊涂。现在，我们就来看看经典概率中的几个著名悖论和谬误。
基本比率谬误（Base Rate Fallacy）
先看一个生活中的例子。
王宏去医院作验血实验，检查他患上了X疾病（患病比率为千分之一）的可能性，其结果为阳性。网上的资料显示，实验总是有误差的，这种实验有“百分之一的假阳性率和百分之一的假阴性率”。这句话的意思是说，在得病的人中做实验，有1%的人是假阳性（即实际是阴性，却得到阳性的结果），99％的人是真阳性。而在未得病的人中做实验，有1%的人是假阴性，99％的人是真阴性。于是，王宏根据这种解释，估计他感染X疾病的可能性（即概率）为99%。王宏想，既然只有百分之一的假阳性率，那么，百分之九十九都是真阳性，那我感染X病的概率便应该是99%。
可是，医生却告诉他，他被感染的概率只有0.09左右。这是怎么回事呢？王宏的误区在哪里？
医生说：“99％是测试的准确性，不是你得病的概率。你忘了一件事：这种X疾病的患病比率并不大，每千人中只有一个人患X病。”
医生的计算方法是这样的：因为测试的误报率是1%，1000个人将有10个被诊断为假阳性，而根据X病在人口中的比率（1/1000=0.1%），真阳性只有1个。所以，大约11个测试为阳性的人中只有一个是真阳性（患病）的，因此，王宏被感染的几率是大约1/11，即0.09（9%）。
实际上，王宏犯了“基本比率谬误”的错误，即忽略了“X病患者在人口中的基本比例为千分之一”这个事实。
谈到基本比率谬误，应先从概率论中著名的贝叶斯定理[1]说起。托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes ，1701-1761）是英国统计学家，贝叶斯定理是他对概率论和统计学作出的最大贡献，是当今人工智能中常用的机器学习之基础框架，它的思想之深刻远出一般人的认知，也许贝叶斯自己生前对此也认识不足。值得一提的是，如此重要的成果却并未在他生前发表，而是在他死后的1763年才由他的朋友发表。本篇将对贝叶斯定理稍作介绍，我们在本系列的后几篇，将讨论贝叶斯学派以及贝叶斯理论在人工智能中的应用。
粗略地说，贝叶斯定理涉及到两个随机变量A和B的相互影响，专业注释为：利用B带来的新信息，应如何修改B不存在时A的“先验概率”P(A)，从而得到B存在时的“条件概率”P(A|B)。或者类似地，也可以将A、B反过来叙述，即如何从B的“先验概率”P(B)，得到B的“条件概率”P(B|A)。正反两种叙述方式分别对应于下图中的实线和虚线。
通过前述王宏的经历我们就能很好的理解这个公式：随机变量A表示“王宏感染X病”；随机变量B表示“王宏的检查结果”。先验概率P(A)指的是王宏没有检查结果时得X病的概率（即X病在公众的基本概率0.1%），而条件概率（或后验概率）P(A|B)指的是王宏“检查结果为阳性”的条件下得X病的概率（9%）。也就是说，王宏的检查结果将先验概率P(A)（ 0.1%）修正成为9%。
贝叶斯定理是十八世纪的产物，却在二十世纪七十年代遇到了挑战，该挑战来自于卡尼曼和特维尔斯基提出的“基础概率谬误”（Base Rate Fallacy）。丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman，1934－）是以色列裔美国心理学家，2002年诺贝尔经济学奖得主。基础概率谬误并不是否定贝叶斯定理，而是探讨一个使人困惑的问题：为什么人的直觉经常与贝叶斯公式计算的结果相悖？如同刚才的例子所示，人们在使用直觉的时候经常会忽略基础概率。卡尼曼等在他的文章 《思考，快与慢》 （<Thinking, Fast and Slow>）中举了一个出租车的例子来启发人们思考这个影响人们“决策”的原因：
某城市有两种颜色的出租车：蓝和绿（比率为15:85）。一辆出租车夜间肇事后逃逸，一位目击者认定肇事的出租车是蓝色的。然而，他“目击的可信度”如何呢？公安人员经过在相同环境下对该目击者进行“蓝绿”测试得出结论：正确识别率为80%，20%的情况不正确。也许有读者立刻就得出了结论：肇事车辆是蓝色的概率应该是80%。如果你作此回答，你便是犯了与前文提到的王宏同样的错误，忽略了先验概率，没有考虑在这个城市中“蓝绿”车的基本比例。
那么，肇事车辆是蓝色的（条件）概率应为多少？贝叶斯公式能给出正确的答案。首先我们必须考虑蓝绿出租车的基本比例（15: 85）。也就是说，在没有目击证人的情况下，肇事车辆是蓝色的概率只有15%，即“A=蓝车肇事”的先验概率P(A)=15%。现在，一位目击者的出现改变了事件A出现的概率。目击者看到车是“蓝”色的。不过，他的目击能力也要打折扣，只有80%的准确率，即也是一个随机事件（记为B）。
我们的目的是要得出在有目击证人“看到蓝车”的条件下肇事车辆“真正是蓝色”的概率，即条件概率P(A|B)。后者应该大于先验概率的15%，因为目击者看到“蓝车”。如何修正先验概率？需要计算P(B|A)和P(B)。
因为A=车为蓝色、B=目击蓝色，所以P(B|A)是在“车为蓝色”的条件下“目击蓝色”的概率，即P(B|A) ＝80％。最后还要算总概率P(B)，它的计算麻烦一点。P(B)指的是“目击证人看到一辆车为蓝色的概率”，等于两种情况的概率相加：一种是车为蓝，辨认也正确；另一种是车为绿，错看成蓝。所以：
P(B) = 15%×80% + 85%×20% = 29%
从贝叶斯公式：
可以算出在有目击证人情况下肇事车辆是蓝色的几率=41%，同时也可求得肇事车辆是绿车的概率为59%。被修正后的“肇事车辆为蓝色”的条件概率41%大于先验概率15%很多，但是仍然小于肇事车为绿的概率0.59。
抛硬币、掷骰子之类游戏中涉及的概率，是离散的，抛丢结果的数目有限（硬币仅有两种结果，骰子为6种）。如果硬币或骰子是对称的，每个基本结果发生的概率相等。这种随机事件被称为古典概型。数学家们将古典概型推广到某些几何问题中，使得随机变量的结果变成了连续的、结果数目无限多的概型，这种随机事件被称之为“几何概型”。古典概型向几何概型的推广，类似于有限多个整数向“实数域”的推广。了解几何概型很重要，因为与之相关的“测度” 概念（长度、面积等），是现代概率论的基础。
布丰投针问题，是第一个被研究的几何概型。
►图1：布封（Buffon）投针问题
十八世纪的法国，有一个著名的博物学家：乔治·布丰伯爵（George Buffon，1707-1788）。他研究过不同地区相似环境中的各种生物族群，也研究过人和猿的相似之处，以及两者来自同一个祖先的可能性，他的作品对现代生态学影响深远，他的思想对达尔文创建进化论影响很大。
难得的是，布丰同时也是一位数学家，是最早将微积分引入概率论的人之一。他提出的布丰投针问题（图1）是这样问的：
用一根长度为L的针，随机地投向相隔为D的平行线（L < D），针压到线的概率是多少？
布丰投针问题中，求的也是概率，但这时投掷的不是硬币或骰子，而是一根针。硬币投下去只有“正反”两种基本结果，每种概率1/2。骰子有6种结果，每一个面出现的概率为1/6。而布丰投针却不同，按照图1a所示的数学模型，投针投下之后的状态可以用两个随机变量来描述，针的中点的位置x，以及针与水平方向所成的角度θ。x在-D/2到D/2之间变化，θ在0到2π间变化。因为x和θ的变化是连续的，所以其结果有无限多。古典概率中的求和在几何概率中用积分代替，使用积分的方法不难求出布丰探针压线的几率为2L/(Dπ)。
因为布丰投针中的概率是对于x和θ的2微积分，所以概率的计算可以简化为如图1b所示的几何图形的面积计算，即所求概率等于图1b中阴影面积与矩形面积之比。
布丰投针的结果提供了一个用概率实验来确定圆周率π的方法（蒙特·卡罗法）。因为π=2L/(DP)，当针投掷的次数足够大，得到的概率P足够精确时，便可以用以上公式计算π。这种方法的确有些出乎意料之外，用一根针丢来丢去也能丢出一个数学常数来！
从上面的介绍可知，几何概型将古典概型中的离散随机变量扩展到了连续随机变量，求和变成积分，变量的样本空间也从离散和有限扩展到了无穷。几何概型和古典概型都使用“等概率假设”。然而，只要涉及到无穷大，便经常会产生一些怪异的结果。布丰投针问题中条件清楚，因此并没有引起什么悖论。而著名的几何概型悖论——法国学者贝特朗（Joseph Bertrand，1822 –1900）于1889年提出的贝特朗悖论则不同。
贝特朗提出的问题是：在圆内任作一弦，求其长度超过圆内接正三角形边长L的概率。奇怪之处在于，这个问题可以有三种不同的解答，结果完全不同但听起来却似乎都有道理。
►图2：贝特朗悖论
求解贝特朗问题中的概率，不需要用微积分，只需要利用几何图形的对称性便能得到答案。与计算布封投针问题中概率的情况类似（图1b），一般来说，可以将几何概率的计算变换成几何图形的计算，即计算弧长或线段的长度，或者计算面积、体积，从如下计算贝特朗问题的3种不同方法，读者可以更为深入地理解这点。
方法1：首先假设弦的一端固定在圆上某一点（比如A），如图2a，弦的另一端在圆周上移动。移动端点落在弧BC上的弦，长度均超过圆内接正三角形的边长L，而其余弦的长度都小于L。由于对称性，BC弧长占整个圆周的1/3，所以可得弦长大于L的概率为BC弧长与圆周长之比，即P=1/3。
方法2：首先选择圆的一个直径，比如图2b中的AD。过该直径上的任何点作直径的垂线，与圆相交形成弦。从图2b中可以看出：当直径上动点的位置在B和C之间时，所得弦的弦长大于正三角形的边长L，动点位置在BC之外的弦长小于L。因为线段BC的长度是整个直径的一半，所以由此可得弦长大于L的概率为P=1/2。
方法3：如图2c所示，作一个半径只有圆的半径的二分之一的同心圆（称为小圆），称原来的圆为“大圆”。考虑大圆上任意弦的中点的位置可知：当中点位于小圆内部时，弦长符合大于L的要求。因为小圆的面积是大圆面积的1/4。所以，概率也为P=1/4。
以上3种方法听起来都“振振有辞”，但得出的结果却不尽相同，如何解释呢？
按照传统解释，关键在于“随机”选择弦的方法。方法不同，“等概率假设” 的应用区间也不一样。方法1假定端点在圆周上均匀分布（即等概率）；方法2假定弦的中点在直径上均匀分布；方法3则假定弦的中点在圆内均匀分布。图3给出了3种解法中弦的中点在圆内的分布情形。图4则是用3种方法直接画出弦，以比较弦在圆内的分布情形。也可以说，贝特朗悖论不是悖论，只是问题中没有明确规定随机选择的方法，方法一旦选定，问题自然也就有了确定的答案。
►图3：弦的“中点”在3种方法中的分布情况
►图4：“弦”在3种方法中的分布情况
概率论中的悖论还有很多，基于经验的直觉判断很多时候往往并不靠谱。下一篇将介绍的本福特定律，也是一条初看起来有些奇怪、不合直觉的定律，不过这条定律用处却很大，甚至还能帮助侦破“财务造假”，且听下回分解。
参考资料：
【1】维基百科-贝叶斯定理：
【2】wikipidia：Bertrand_paradox_(probability)
(probability)
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