邓文忠(陕西省洋县黄安初中)
摘要:围绕一道分得三角形面积比为1:2:3的点的个数方面的竞赛题予以解析、探究、类比、拓展、联想,揭示解决此类问题的方法、规律.其间即有理论上严谨的推导,又有几何画板软件直观的验证,在解析和拓展探究中有着极为丰富且优美的结论,并从另一角度印证了四边形的“天然重心”问题,创新超越了原题的范畴.这样的探究、拓展很自然,对启发学生认识探究,理解探究及锤炼思维、创新思维,开阔视野,提高推理论\证能力大有裨益.
关键词:面积比;竞赛题解析;拓展探究;几何画板软件;平行六边形;天然重心
数学探究是新课改所倡导的重要的教学方式,让学生在探究中获得知识、发展能力,已成为数学教学的一种追求.本文通过对2014年一道“希望杯”竟赛题的解析、探究、类比、拓展,获得了意外的极为丰富且优美的结论,并从另一角度印证了四边形的“天然重心”问题,创新超越了原题的范畴.同时对学生认识探究,理解探究有着积极的启发,并能从中锤炼思维,获得美的感受.
竟赛题 (第25届“希望杯”全国数学邀请赛初三第2试试题)三角形内的一点和三角形三个顶点的连线将三角形分成三部分,若这三部分的面积比是1:2:3,则这样的点的个数是( ).
(A)1 (B)3 (C)6 (D)9
从图2中简化出图4,连接GH.
6所示;在图6中A,P1,P2,P3,P4五点共线,且直线AP4平分MN,GH,BC.
形.
探究1:三角形外分得三角形面积比为1:2:3的点存在吗?若存在,有几个?怎么作出这些点?
“梯形内部一点连接各顶点构造三角形四等分梯形面积是假命题”和 “梯形没有‘天然重心’,四边形也没有‘天然重心’”(注:若平面四边形内存在一点与四条边构成的四个三角形面积相等,那么这个点就称为四边形的“天然重心”).
探究3:既然四边形内分得四边形面积比为1:2:3:4的点不一定存在,那么怎样作出符合要求的四边形及这样的点?
如图17~图23,假设△ABC固定,下面作出符合要求的点O及四边形ABCD.
作法:(1)在AC上取一点E、G,使AE:EC=1:4;AG:GC=2:3;
(2)在直线BE上任取一点O(不与点B,E重合),延长BO至点F,使BO:OF=1:2;
(3)过点F作FD∥OA;
(4)连接OG并延长交FD于点D,连接AD,DC,OB,OC.
同样地,可作出符合分得四边形面积比为1:1:1:1的点及四边形.
如图23,图24,BO平分AC,且BO=OD时,点O四等分四边形ABCD的面积.此时有两种图形:一般的四边形和平行四边形.这从另一角度印证了,结论:如果一个四边形有一条对角线平分另一条对角线,那么这条对角线的中点就是这个四边形的“天然重心”.
参考文献:
[1]邵潇野,苏斌.一道四等分梯形面积问题的探索和反思[J].中国数学教育(初中版),2013(12):28-30.
[2]朱丹,曹丽萍.“具有天然重心的四边形”的探索[J].数学教学,2009(9):7-8.