类比思维方法是数学创造性思维中非常重要的思维方法，在数学解题过程中，当我们的思维遇到障碍时，运用类比推理往往可以实现知识的精进，转移已经学过的知识或已经掌握的解题方法& amp# 039；柳岩华明另一个村庄& amp# 039；可以做。
法国数学家兼天文学家拉普拉斯说："即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。" ，德国天文学家数学家开普勒对类比方法更是情有独钟，推崇备至，他说："我们珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师。"康德也深刻地指出："每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。"因此可以这样讲，类比是发明创造的源泉,是一种重要的数学思维模型。数学类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．对于三角形中之类比探究问题是中考数学中的热点，其一般求解方法：（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）用解决第（1）问的方法类比解决下一问，整体框架照搬包括照搬字母，照搬辅助线， 照搬思路 ．
类型1 图形的关键元素的位置变化
例1（2018秋•丰城市期中）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，
（1）如图1，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，求证：AB＝AC+CD；
（2）如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需要证明；
（3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC+CD；
（2）由（1）得出AB＝AC+CD即可；
（3）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC+AB＝CD．
【解答】（1）证明：如图1，在AB上截取AE＝AC，连接DE，
∵AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD＝∠CAD，
在△ADE与△ADC中， AE=AC, ∠BAD＝∠CAD，AD=AD,
∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED＝∠C，ED＝CD，
∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，
∴EB＝ED，∴EB＝CD，∴AB＝AE+DE＝AC+CD．
（2）由（1）可得：AB＝AC+CD
（3）猜想：AB+AC＝CD．
在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，如图3．
∵AD平分∠FAC，∴∠EAD＝∠CAD．
在△EAD与△CAD中，
AE=AC, ∠EAD＝∠CAD，AD=AD，
∴△EAD≌△CAD（SAS）．
∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD． ∴∠FED＝∠ACB．
又∠ACB＝2∠B，∠FED＝∠B+∠EDB，∠EDB＝∠B．∴EB＝ED．
∴EA+AB＝EB＝ED＝CD．∴AC+AB＝CD
【点评】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
例1变式（2018秋•大石桥市校级月考）如图，画一个两条直角边都相等的Rt△ABC，并过斜边BC上一点D作射线AD，再分别过B、C作射线AD的垂线BE和CF，垂足分别为E、F．
（1）试判断线段BE、CF、EF长度之间有什么关系？试说明理由．
（2）改变D的位置，再重复上面的操作，（1）中的结论是否发生改变？为什么？
【分析】（1）结论：CF＝BE+EF 证明△ABE≌△CAF 即可；
（2）结论发生变化：当点D运动到BC中点的左边时，EF+CF＝BE；
【解答】（1）结论：CF＝BE+EF．
理由：∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAF＝90°，
∵∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠CAF＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
∠AEB＝∠CFA＝90°，∠ABE＝CAF，AB=AC，
∴△ABE≌△CAF（AAS），∴BE＝AF，AE＝CF，
∴CF＝AE＝AF+EF＝BE+EF；
（2）结论发生变化：当点D运动到BC中点的左边时，EF+CF＝BE．
理由：如图，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAF＝90°，
∵∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠CAF＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
∠AEB＝∠CFA＝90°，，∠ABE＝CAF，AB=AC，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE＝AF，AE＝CF，∴BE＝EF+CF；
类型2 图形的线性变化
例2（2018秋•吉林期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE，且∠DAE＝90°，连接CE．
（1）如图①，当点D在线段BC上时：
①BC与CE的位置关系为______；
②BC、CD、CE之间的数量关系为_______．
（2）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若不成立，请你写出正确结论，并给予证明．
（3）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为 ．
【分析】（1）根据条件AB＝AC，∠BAC＝90°，AD＝AE，∠DAE＝90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），①利用两角的和即可得出结论；②利用线段的和差即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝135°，即可解决问题；
（3）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，再根据BD＝BC+CD，即可得出结论．
【解答】（1）如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，AB=AC, ∠BAD＝∠CAE，AD=AE,∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
①∵∠ACE＝45°＝∠ACB，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，即BD⊥CE；
②∵BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，
故答案为：BC⊥CE，BC＝CD+CE；
（2）结论①成立，②不成立，结论：CD＝BC+CE
理由：如图2中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，AB=AC, ∠BAD＝∠EAC，AD=AE,
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝135°，∴CD＝BC+BD＝BC+CE
∵∠ACB＝45°, ∴∠DCE＝90°，∴CE⊥BC；
（3）如图3中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠BAD＝∠CAE，∴在△ABD和△ACE中，
AB=AC, ∠BAD＝∠EAC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC+CD，即CE＝BC+CD，
故答案为：CE＝BC+CD．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
例2变式1.已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，AD=AF，∠DAF=90°，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变，求CF，BC，CD三条线段之间的关系．
【解析】（1）根据题目条件及（1）问中D在线段BC上，证明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，结论可证．
（2）用解决第（1）问的方法解决后续问题，方法上完全照搬．
如图2，通过证明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，进而得到BC+CD=CF；
如图3，通过证明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，进而得到BC+CF=CD．
例2变式2.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC=DC+CE是否成立；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、点E分别在直线BC的异侧，其他条件不变，直接写出BC、DC、CE之间存在的数量关系．
【解析】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE；
②由△ABD≌△ACE就可以得出BC=DC+CE；
（2）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD=CE；
（3）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出CE+BC=CD．
类型3 图形的几何变换
例3.已知AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，如图1．
（1）求证：AC=CE．
（2）若将△ECD沿CB方向平移至如图2的位置（C1，C2不重合），其余条件不变，结论AC1=C2E还成立吗？请说明理由．
（3）若将△ECD沿CB方向平移至如图3的位置（B，C2重合），其余条件不变，结论AC1=C2E还成立吗？请说明理由.
解析：（1）AC=CE，由垂直转互余可以得到∠A=∠DCE，
结合BC=DE证明△ABC≌△CDE，得到对应边相等，可以得到AC=CE．
（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC1=C2E．
（3）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC1=C2E．
例3变式1. 如（1）图，由已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE可证得AC⊥CE，若将CD沿CB方向平移到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，则这四种情况下，结论AC1⊥C2E仍然成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】由题中条件可得出Rt△ABC≌Rt△CDE，所以∠ECD+∠ACB=90°，而在后面的几种情况中，只要满足两个角之和为90°即可．
（2），（3），（4），（5）均成立故选：D．
例3变式2.（2018秋•鸡东县期末）已知△ABC为等边三角形，E为射线BA上一点，D为直线BC上一点，ED＝EC．
（1）当点E在AB的上，点D在CB的延长线上时（如图1），求证：AE+AC＝CD；
（2）当点E在BA的延长线上，点D在BC上时（如图2），猜想AE、AC和CD的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时（如图3），请直接写出AE、AC和CD的数量关系．
【分析】（1）在CD上截取CF＝AE，连接EF．运用"AAS"证明△ECF≌△EDB得AE＝BD，从而得证；
（2）在BC的延长线上截取CF＝AE，连接EF．同理可得AE、AC和CD的数量关系；
（3）同（2）的探究过程可得AE、AC和CD的数量关系．
【解答】（1）证明：在CD上截取CF＝AE，连接EF．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC．
∴BF＝BE，△BEF为等边三角形．∴∠EBD＝∠EFC＝120°．
又∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECF．∴△EDB≌△ECF （AAS）
∴CF＝BD．∴AE＝BD．
∵CD＝BC+BD，BC＝AC，∴AE+AC＝CD；
（2）解：在BC的延长线上截取CF＝AE，连接EF．
同（1）的证明过程可得AE＝BD．
∵CD＝BC﹣BD，BC＝AC，∴AC﹣AE＝CD；
（3）解：AE﹣AC＝CD．
（在BC的延长线上截取CF＝AE，连接EF．证明过程类似（2））．
例4.如图1所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．
（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形．
（2）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到如图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
解析：（1）由已知条件先证明△BAE≌△CAD(SAS)，得到BE=CD，结合第一次全等提供的条件证明△ABM≌△ACN(SAS)得到AM=AN，因而△AMN是等腰三角形．
（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=CD，△AMN是等腰三角形．
例3变式.如图1所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，M、N分别为BE、CD的中点．
（1）判断△AMN的形状，请说明理由．
（2）将图2中的△ADE绕A旋转，条件不变，在旋转过程中，△AMN的形状是否发生变化？根据图2中点D的位置画出旋转后的图形，并判断此时△AMN的形状（直接写出结论，不需要证明）
【解析】（1）如图1，先根据条件得出∠BAE=∠CAD，就可以得出△BAE≌△CAD就可以得出∠ABE=∠ACD，BE=CD，由中点的性质就可以得出△AMB≌△ANC就可以得出MA=NA就可以得出结论；
（2）如图2，先根据条件就可以得出△BAE≌△CAD就可以得出∠ABE=∠ACD，BE=CD，由中点的性质就可以得出△AMB≌△ANC就可以得出MA=NA就可以得出结论．
练习1.我们知道，等腰三角形的两个底角相等，即在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（如图①所示）．请根据上述内容探究下面问题：
（1）如图②，已知在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=90°，动点D在BC边上运动，试证明CD=BE且CD⊥BE．
（2）如图③，在（1）的条件下，若动点D在CB的延长线上运动，则CD与BE垂直吗？请在横线上直接写出结论，不必给出证明，
答：___________．
（3）如图④，已知在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=90°，动点D在△ABC内运动，试问CD⊥BE还成立吗？若成立，请给出证明过程．
（4）如图④，已知在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=x°（90＜x＜180），点D在△ABC内，请在横线上直接写出直线CD与直线BE相交所成的锐角（用x的代数式表示）．
答：直线CD与直线BE相交所成的锐角______．
【提示】（1）由条件易证△CAD≌△BAE，从而有CD=BE，∠ACD=∠ABE，根据三角形外角性质和内角和定理就可求出∠CBE=90°，从而得到CD⊥BE．
（2）借鉴（1）的证明思路就可得到CD⊥BE仍然成立．
（3）延长CD交BE于点F，交AB于O，如图④，借鉴（2）的证明思路即可解决问题．
（4）延长CD交BE于点F，交AB于O，如图⑤，借鉴（3）的证明思路即可解决问题．
小结：类比探究问题往往会在发现不变结构后，应用不变结构去解决新的问题。以不变应万变。此时需要先探索分析新问题，在探索过程中，将新问题与不变结构的特征进行对比，寻求相同特征基础上，构造不变结构来解决问题。注意图形不完整时，往往会有多种情形。
