点上方好玩的数学可加关注带你走进一个不一样的数学世界
莱布尼兹用计算来代替思考“万一发生争执，正像两个会计员之间无须乎有辩论，两个哲学家也不需要辩论。因为他们只要拿起石笔，在石板前坐下来，彼此说一声（假如愿意，找个朋友作证）：我们来算算，也就行了。”－－莱布尼兹评：德国思想家莱布尼兹是有史以来最伟大的思想家之一，以下是他的事迹简单。他与牛顿分别独立发现了微积分，后世使用的微积分主要使用莱布尼兹的符号；他提出了通用计算的思路，使用计算来代替思考。他的这种想法，对于后来数理逻辑、计算机科学和分析哲学有重大影响；他提出了可能世界思想。如果某世界与现有世界并不矛盾，那就是可能的世界。他的可能世界思想后来被克里普克发展为可能世界语义，广泛用于非经典逻辑的语义解释；他还系统提出了二进制，这是现代计算机使用的内部语言。他曾经说过：“从虚无创造万有，用一就够了”。晚年莱布尼兹，主要致力于信仰事业。我们常常就此批评莱布尼兹，就像我们也常常批评帕斯卡的信仰，牛顿的信仰，哥德尔的信仰……有时候我也糊涂了，到底是这些伟大的思想家集体糊涂了，还是我一个人糊涂了？弗雷格半个数学家＋半个哲学家＝好的哲学家＋好的数学家“一个好的数学家，至少是半个哲学家；一个好的哲学家，至少是半个数学家。”－－弗雷格评：弗雷格对于我们也许是陌生的名字，然而弗雷格是上世纪最伟大的思想家之一。他的《概念语言》一书，系统提出了现代逻辑，用严格清晰的数学符号来研究逻辑学。因此，他开创的现代逻辑学又称为数理逻辑，或符号逻辑。为什么说他是上世纪最伟大的思想家之一，这一点没有夸张。他开创的数理逻辑对上世纪的科学和哲学两大领域都有重大影响。一方面，顺着罗素，希尔伯特，哥德尔，计算机之父图灵机，人工智能之父麦卡锡这个方向，他开创的数理逻辑思想被广泛用到计算机科学，被广泛用到人工智能和程序证明。另一方面，顺着罗素，维特根斯坦，卡尔纳普，奎因，普特南这个方向，他开创的数理逻辑及概念分析法发展成分析哲学。而分析哲学，是当前西方哲学的主流方向之一。然而在当时，他的著作对于大多数数学家来说过于哲学化，而对大多数哲学家来说又过于数学化。因此，弗雷格的著作长期受到冷遇，在相当长一段时间内，哲学杂志和数学杂志都拒绝发表他的论文。这个现象也容易理解，当一个思想家的思想高度超出了同时代水平，那么就少有人可以欣赏他了。苏轼就此进行过评论：“高处不胜寒”。到了当代，弗雷格开创的现代逻辑，基本上是哲学系，数学系和计算机科学系都要学的课程。罗素不务正业的诺贝尔文学奖得主“对爱情的渴望，对知识的追求，对人类苦难无可遏止的同情心，这三种简单而又强烈的感情支配了我的一生。”－－罗素评：罗素的头衔很多，哲学家，数学家，逻辑学家，社会活动家，文学家。他在逻辑学方面的成就，主要是与他的老师怀特海编写了《数学原理》，使得弗雷格开创的数理逻辑更加系统更加完善。如果说弗雷格是数理逻辑的开山祖师，那么罗素就是数理逻辑的集大成者。罗素继续弗雷格的逻辑主义，想把数学归结到逻辑上。然后，他自己提出的罗素悖论使这一努力失败。当弗雷格收到罗素发来的关于罗素悖论的信，他写道：“对一个科学工作者来说，最不幸的事情莫过于：当他完成他的工作时，却发现他的知识大厦的一块基石突然动摇了。正当本书的印刷接近完成之际，伯特兰；罗素先生给我的一封信使我陷入这种境地。”虽然逻辑主义失败了，但没关系，“柳暗花明又一村”，人类历史又翻开了新的篇章。希尔伯特纲领“我们必须知道，我们必将知道。”－－希尔伯特评：数学基础出现了矛盾，以确定性追求为己任的数学家如何受得了。集合论的矛盾弥漫开来，有人也怀疑算术是否也有矛盾。为了捍卫古典数学的尊严，作为当时数学界的领袖，希尔伯特当仁不让，接过了这个挑战。继1900在数学家大会上提出著名的希尔伯特23个问题后，1904年，希尔伯特在数学家大会上又提出一个证明算术无矛盾性的思路。这个思路也称为形式主义纲领，它的核心思想是将算术表达为一种形式系统或称公理系统，然后用有穷步骤证明该系统的无矛盾性。希尔伯特的目的是试图对形式系统的无矛盾性给出让大家都可以接受的证明，以便克服悖论所引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。对于这个纲领，希尔伯特信心十足，在哥尼斯堡演讲中说出了上面的话。更让人肃然起敬的是，希特勒上台后，德国国内掀起反犹大潮，希尔伯特却敢于上书抵制纳粹政府迫害犹太科学家。这种人格魅力，有时候比他的学术魅力，更为得到别人的尊敬。哥德尔“人无法拔着自己的头发把自己举起来。”－－哥德尔评：哥德尔研究了希尔伯特纲领，给出否定的答案，宣告希尔伯特纲领的失败。1930年提出的哥德尔第二不完备性说，任何包含一阶算术的形式系统，该形式系统的无矛盾性，在该形式系统内无法通过有穷的步骤得到证明。在定理的证明中，哥德尔还提出了很多有用的理论，比如如何把符号编码为自然数，还有使用递归函数来研究有穷证明的能力范围。哥德尔的工作揭示了有些问题是不可通过有限的步骤得以证明的，那么什么问题是可以通过有限的步骤证明的？沿着这个问题，哥德尔的很多工作，被应用到了可计算性的研究。什么是可以有穷证明的，从可计算性的角度来说对应于，什么是可以计算的。因为哥德尔在逻辑学上的巨大贡献，也可以更一般地说在符号系统方面的巨大贡献，人们把哥德尔当作亚里士多德，莱布尼兹以来最伟大的逻辑学家。晚年的哥德尔，致力于证明上帝存在。图灵机它由一个控制器和一条两端可无限延长的工作带组成：工作带起着存储器的作用，它被划分为无穷多个可写可擦的方格。控制器则可以在带上左右移动，控制带有一个读写头，读写头可以读出当前方格内的符号，然后根据预先设计的状态转换指令，选择改写或抹去这一符号，然后选择往左移一格，往右移一格或者不移动，并进入下一个状态。当状态转换到停机状态，则停止运行。评：哥德尔不完备定理出世后，在剑桥大学的图灵设想：能否有这样一台机器，通过某种一般的机械步骤，能够解决所有可以解决的数学问题。以上机器就是他提出来的图灵机。图灵机可以计算的问题，就称为图灵机可计算。哥德尔提出不完备性定理之后，数学家们广泛研究了我们平常理解的可计算到底意味着什么。图灵机出来后，根据丘奇图灵命题，所谓直觉的可计算性，就被定义为图灵机可计算。图灵机的出现，奠定了计算机科学的理论基础，计算机的出现已经主要是技术实现的问题了。据说，图灵在二战期间主持设计了一台计算机。但资料比较多的，1946年，数学家冯•诺依曼主持设计了第一台计算机。但不管如何，图灵被广泛认为是“计算机之父”。现代计算机的计算能力，还是在图灵机的计算能力之内，当然速度是越来越快了。图灵开辟了一条大路，后来的科学家又开辟了一些中路小路，我们则行走在前人铺就的路上。1966年，美国计算机协会设立以图灵为名的“图灵奖”，用于表彰在计算机科学领域做出突出贡献的科学家。图灵奖的得主有：Minsky，“人工智能之父”McCarthy，Dijkstra，Knuth，Backus，Floyd，Hoare，Codd，Cook，Thompson，Wirth，姚期智，RSA三人，“互联网之父”Cerf和Kahn……又：回顾上面的历史，发现一个有趣的现象：德国长于概念分析，英国人有经验主义传统，美国人则有实用主义传统，这三者结合起来，所向披靡呀。来源：庄朝晖科学网博客 好玩的数学微信号：mathfun↑好玩的数学以数学学习为主题，以传播数学文化为己任，以激发学习者学习数学的兴趣为目标，分享有用的数学知识、有趣的数学故事、传奇的数学人物等，为你展现一个有趣、好玩、丰富多彩的数学世界。↓点击阅读原文查看更多精彩内容
