1854年，德国数学家伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）又发布了一篇与众不同的论文《论作为几何学基础的假设》。这篇论文给我们带来了一个全新的，遍地都是曲线的世界，这个世界再也不是横平竖直的了。
黎曼大师
黎曼，这位大师，认识他的人无不惊叹与他惊人的创造，几乎每次出手不是颠覆某个领域，就是横空创造出一个完全没有的数学理论。比如前面半句的例子，就像是黎曼猜想，他居然能用一个方程的零点分布情况去推算素数的在某个范围内的个数。后面半句的例子就是他一手打造的黎曼几何。
先说明一下，我们从很小就开始学习几何学，知道三角形内角和是180度，知道勾股定理等等。这些几何学知识跟我们的日常认知是符合的，因此学起来不太费事，现在我们知道了这种“传统几何”叫作欧几里得几何。
欧式几何符合我们的日常认知
然而，在某些情况下，欧式几何却有点不太符合实际情况。
举个例子，欧式几何里说，直线的长度是无限的，假如我们现在站在地球表面，沿着赤道做一块黑板，在黑板与地面等高的位置画一条线，并一直连续下去。这条直线虽然长，但是终究会回到原点的，这样一来，直线的长度就不再是无限长的，而是有限的了。
再比如，欧式几何中，两条平行线是没有交点的。但是我们现在来做个推论，如上图所示，α1>α2>α3，显然这3组线最终相交的点会越来越偏离图中心的，假如我们现在把两组线进一步偏移，使得α4变得无穷小，那么第4组的两条直线相交点就将无限偏离图中心的，既然你都无限偏离图中心点的，我们可不可以认为这是平行的呢？在这个问题上，黎曼几何认为，在同一个平面上任意两条直线总是会相交的，也就是说不存在平行线。
球面上的几何
人们很快意识到，黎曼的这种新几何与人类探讨了几千年的欧式几何并没有本质的区别。黎曼也是从最简单的几条公理出发，继而推导出了完备的理论体系，在这个体系中，所以经过严密论证的论题都能完美自洽，不存在不能自圆其说的情况。
那么黎曼几何到底有啥用呢？我们再来做个不太恰当的比喻，有一只蚂蚁在一只皮球上爬，它不停地努力去爬，结果却发现它所接触的表面怎么也看不到尽头。如果这只蚂蚁没有好好去思考，那么它将永远被困在这个皮球的表面，早晚得崩溃。假设这是只聪明的蚂蚁，它了解一点黎曼几何的原理，它便可以在不脱离这个球体表面的情况下，意识到脚下的球面其实是有弯曲的。如果它再懂得更多一点，它甚至能算出来自己走了多少弧度，长度，面积，正因为脚下的是球面，所以当然可以从一个点出发走下去之后，回到出发点。当它意识到这个问题时，这只皮球便再也困不住这只蚂蚁宏伟的思想了。一瞬间，这只蚂蚁便超过了它所在的维度了。
挣扎的蚂蚁
假如我们就是这只蚂蚁呢？我们现在好像也觉得宇宙是无边无际的，如果我们可以像那只蚂蚁一样，可以突破自己所在的维度来思考问题，那么别看现在动不动距离地球多少亿光年的星系，其实在更高维度上，我们都是瞬间到达的。
爱因斯坦
好了，以上举的那只蚂蚁的例子是晓然菌的空想主义，不过意思差不太多。在黎曼几何诞生过半个多世纪后，在物理学界找到一个量身定制的应用。爱因斯坦在推导广义相对论场效应方程时，遇到不少困境，后来有朋友把黎曼几何的理论介绍给他，结果爱因斯坦惊讶地发现，黎曼几何的很多假设和结论跟广义相对论的核心内容不谋而合。比如，爱因斯坦认为我们的时空其实是弯曲的，尤其在大质量天体附近弯曲程度更加严重；时间只是在小范围内存在着近似均匀，而这一小范围的近似均匀就是我们熟知的欧式几何。。。
很多物理学的工具在数学上早已准备好了
原来爱因斯坦遇到的困难，数学上的工具早在半个多世纪前就已经建立好了。
黎曼大师真是一出手就画出了最灿烂的数学篇章。
