古典力学是17世纪至19世纪的最高成就之一。
只用几个概念，如作用力和能量，我们就可以确定无数粒子和场的轨迹。我们都熟悉力学，有一个经典的抛物线轨迹，即在重力作用下以垂直和水平的速度抛出的球。抛出的动能在球上升和减速时成为势能，然后在返回地球时又转化为动能。
为了理解球的运动，我们需要预测两个量：位置和动量。事实上，在所有的经典力学甚至是量子力学中，位置和动量都会出现。有时这些量并不完全是位置和动量，它们可以是 "坐标 "和 "共轭动量"。然而，即使在研究由数万亿粒子组成的气体时，力学也可以被描述为每一个粒子的位置和动量。
共轭物理量(Conjugate variables)指在量子力学中其算符不对易的物理量。它的概念来自于哈密顿力学，其中共轭动量表述为拉格朗日函数对广义速度的偏微分。——百科
了解这些系统的行为对许多领域都很重要，包括火箭科学、电气和机械工程、生物学和化学。
相空间与可视化实例
系统所有可能的位置和动量的空间，无论是抛在空中的球的位置和动量，还是弹簧的振荡，或者是一万亿个粒子，都被称为相空间。
举例来说，在一个一维系统中，如一个直接向上抛的球或一个弹簧，其相空间是二维的：位置和动量。对于一个三维盒子里的一万亿个粒子，相空间有六万亿个维度，每个粒子有三个位置和三个动量。当我们描述每个粒子在某一时刻的位置和动量时，它被称为状态（如果我们谈论的是统计学，就是微状态）。系统的每个状态都可以表示为相空间中的一个点。
让我们以一个末端有质量的弹簧为例。
- 弹簧质量系统
弹簧是振荡器的一个例子，是具有重复性或周期性运动的东西。上面的动画展示了弹簧振荡器的外观和它在相位空间的样子。
左边的是弹簧在现实中的样子。移动的点是质量所在的位置，而静止的点代表弹簧的静止点。右边是它在相位空间的样子。
上面的例子只是弹簧的一个可能轨迹。我可以通过改变弹簧的初始速度来改变椭圆的大小。
像这样的弹簧在相位空间有圆周运动，因为它们既没有强迫也没有阻尼，也没有任何非线性行为。下面是相空间中五个不同的轨迹。每一个都有一个不同的初始条件（位置和速度）。
每种颜色都是不同的初始位置和速度随时间变化的轨迹。这说明的是，任何弹簧系统在相位空间中看起来都是一个椭圆形的。那些初始速度较小的有较小的椭圆。
这种弹簧并不那么现实，因为它像永动机一样永远地重复下去。我们应该给它加上一些阻尼。
阻尼可以来自弹簧的内部摩擦和热损失。一个有阻尼的弹簧系统看起来像这样。
现在，相空间不再是大的椭圆形，而是变成了螺旋形，因为位置和动量都 "螺旋式 "地进入了0位置和0动量状态，也就是弹簧的静止状态。
这里有五个随机轨迹，初始位置和速度都是随机的。
阻尼弹簧系统现在不是周期性的。相反，它去了一个 "固定点"。该系统总是直奔点（0,0），然后就再也没有离开。这是一个 稳定的固定点，因为如果我在这个状态下干扰弹簧，它将回到这个状态。
让我们再试试一个一维振荡器。这次是一个叫做范德堡尔振荡器（Van der Pol Oscillator）的东西，这是一个在电路和真空管中常见的非线性振荡器。
- 范德堡尔振荡器电路
通过这个，我们可以看到一个具有极限环吸引子的振荡器。这是一种我们在简单的弹簧系统中找不到的特征。如果我们要用范德堡尔振荡器驱动一个弹簧质量系统，我们可能会看到这样的东西。
- 无论从哪里开始，范德堡尔振荡器都会进入一个特定的极限环。
下面是同一个振荡器的相位空间，有20个不同的初始条件，每种颜色代表有一个。每一个都被画到了极限周期。
- 具有周期性极限环吸引子的范德堡尔震荡器。
另一方面，混沌系统没有周期性吸引子。它们有 "奇怪的 "吸引子，它们有点像遵循一个吸引子，但它们从未两次碰到相同的状态。因为它们避免两次击中一个状态，所以它们从来没有周期性。它们总是遇到新的状态。下面是一个三维相空间的例子。
- 奇怪的吸引子
球在循环中滚动，似乎遵循一种模式，但这种模式从未完全重复。这是x变量在时间上的样子：
这就是混乱的样子。它不会重复，不会在相空间中两次碰到相同的点。然而，这是确定性的，而不是随机的。相空间中的每一个点都由方程和初始条件精确确定。
高维度和弯曲的几何形状
在更高的维度上，动态系统很难在相空间中可视化，但这些概念的重要性并没有减少。事实上，相空间可以有无限的维度，在这种情况下，它们成为像希尔伯特空间一样的函数空间（在信号处理和量子场理论中很常见）。虽然极限环在二维相空间之外不太常见，但许多概念，如吸引子、固定点和周期性，都会延续下去。
除了平面几何之外，我们还可以将这些概念带入所谓的辛几何（ symplectic geometries）中，粗略地说，它们是非欧几里得几何图形，具有相空间的特点。因此，举例来说，这些可以是嵌入在更高维度的平坦空间中的弯曲空间，比如有轨道，或者它们可以在弯曲的空间中，比如行星的表面，甚至像相对论中的弯曲时空。大多数动力系统可以被描述为存在于辛几何中，只要它们有偶数维的相空间。
辛几何（symplectic geometry）与代数几何和微分几何是平行的三个数学分支，是研究辛流形（symplectic manifold）的几何与拓扑性质的学科。它的起源和物理学中的经典力学关系密切，也与数学中的代数几何，数学物理，几何拓扑等领域有很重要的联系。 不同于微分几何中的另一大分支--黎曼几何，辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何，而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念。这使得辛几何的研究带有很大的整体性——百科
结论
我在这里展示的只是经典力学与相空间的一小部分。相空间分析是研究动力系统的一个强有力的方法，我们可以从一个系统的相空间行为中了解很多东西。它还能使我们理解动力学的各个方面，如复杂性和混沌，甚至是区分生物和非生物动力系统的原因。事实上，你会期望一个生物，甚至一个细菌的动力学看起来与周期性或混沌系统非常不同。相反，它是复杂的，非周期性的，但也是结构化的。如果 "什么是生命？"这个问题有一个答案，那就是对其相空间的描述。
