们并不感到数学是一门令人兴奋的、充满生机的正在发展中的学科．
我想改变学生的这种印象．所以我开始每天提出一些“趣味事实”，在每堂课的头5分钟向我的学生们展现我认为很迷人的一些数学思想——例如，实数的不可数性，九点圆，用对顶点的移动镶嵌棋盘，火腿三明治定理，等等．我所选择的定理通常与微积分无关；重点是扩大他们对数学全景的了解，向他们展现数学是有活力的，充满着有趣的问题和新的思考方式，以激发他们学习更多东西的欲望．
学生的反应是不可抗拒的．他们很喜爱这些趣味事实．他们强烈要求每堂课的开始阶段都要有这项内容．学生们不再迟到了！要是我忘了讲趣味事实，他们就会提醒我履行这项义务，生怕趣味事实被取消．有时他们还吵吵嚷嚷要求多讲几个（虽然这样多半会延迟微积分课）．我一直在培养他们的数学yawp．
他们的yawp越来越多．他们经常会回来找我请教有关趣味事实的问题，或他们已经研究过的或解决了的趣味事实的各种变形．对我讲课的许多评价都提及了趣味事实，理由是他们愿意学习更多的数学，即使他们不喜欢微积分．我帮助他们找到了他们的yawp，即使它并不来自微积分！
而后我渐渐理解了，培养他们的yawp比教他们微积分更重要．
经验1 讲授必须的背景? 不．培养他们的yawp
当然．我们希望这些目标是融洽的，但是如果它们之间发生什么冲突，我们需要记得首要目标．例如，我做这项工作的一个方针是从不停止培养学生的yawp，只要它有利于完成教案．
如果你试图在你的课程中尝试使用趣味事实，我已经创建了一个网站和一个包含我用过的200个趣味事实的iPhone应用软件．(在Google“MathFunFact”中找到它．)但是最好的趣味事实是你本人最关心的那些！给你的学生们讲最能激起你对数学热情的有趣的事实！
3我从8年级学生那里学到了什么
我在12年制学校(K-12)舞台上发现了一个使用类似思想的办法．我在事业上成长的最有意义的经历之一发生在我成为大学教员的第2年；当时我获悉一位当地中学的校长，正在寻找一名教授来讲一门强化数学课，以挑战一些聪明的8年级学生．这位校长的想法引起了我的兴趣，我同意去担当此任．
这所学校8年级的数学课，每周有一次将根据学生能力分成两组．一半学生由通常的老师进行一些必要的帮助和额外的练习，另外一组跟我上课．
我应该跟他们做些什么呢? 我不准备给他们讲更多的他们可能在高中会遇到的同样的材料．我选择了给他们讲“添加的材料’，诸如衍生的有趣事实、像归纳法及矛盾法等的证明技巧，以及快速心算、运用数学思想的戏法、初等扭结理论和赖德迈斯特（Reidemeister）移动、难以置信的谜题、初等组合问题，等等．
关于这次经历的许多事情令我惊异．首先，教8年级的学生比教大学生难得多！任何一个涉及教大学生的课题在教8年级学生时都要加以扩充．如果大学生安静地听课不能超过15分钟的话，则8年级学生顶多静听5分钟．大学生可能会觉得内容乏味；8年级学生则明显地会在座位上烦躁不安．大学生们会互相之间点头使眼色；8年级学生则传递笔记．如果大学男生在课堂上大声说话比大学女生多的话，那么8年级男生完全支配着我的课堂讨论．
结果，我在大学课堂能正常做的每件事，对这些8年级学生必须更加努力地去做好．如果说我的大学教学风格是交互式的，那么对8年级学生更得如此．我不得不更多地关注盛气凌人的学生们，给他们更多的自信和鼓励，更多地重复一些概念，问更多的问题以保持他们处于忙碌的动脑状态并且点燃他们的好奇心和想象力…这使我认识到做这些事对我的大学教学也都很不错！
经验2 培养你的学生成熟起来? 不．恢复他们孩子般的好奇心和想象力
我相信，如果进展顺利，在大学第一年的课程里没有一个概念是8年级学生理解不了的．那么你怎么做才能使得进展顺利，吸引你的学生的注意力呢?
我们必须找到恢复大学生们孩子般好奇心的方法．我看到8年级学生更具好奇心，更乐意探究“为什么? ”，更乐意问他们不理解的问题，更乐意让你知道你前面口袋里的钢笔漏水了．在走向成年期的道路上的某个地方，他们丧失了问问题的能力．
这次强化课成功了吗? 他们逐渐形成了数学yawp了吗? 为了估价一学期的教学效果，我让这些8年级学生完成下面的句子：
现在我知道了数学是…
我得到了一些像这样的回答：
…比我想象得要难(原来我把它想得太容易了)
但大多数回答是这样的：
…非常富于挑战性，又非常有趣．它也是一个比我最初以为的广泛得多的一个主题．
…可以很有趣而不总是乏味．现在我还知道，有时候，数学是能够完全跟数字没关系的．
…比我以前的了解要广泛得多的科目；这门课打开了许多新的、令人激动的和富于挑战性的主题，它们让我对作为整体的数学更感兴趣了．
…一个神秘的世界等待人们去发现．
就是这样！我们寻求的是增加他们能够做出发现的直觉！
最近，我得到了这个班的一个学生的消息，他8年后刚从大学毕业．他说：“我记得我真正欣赏它…是在中学里，它是(我上过的)唯一的一个班，真正打开了我的眼界，看到了不一样的思维方式．”所有这些反应都显示：他们已经逐渐形成了yawp．
我在这个班上还学到了另一个经验：很容易错失听到yawp的时机．班上有一位怕羞的女孩，几乎从不大声说话，根本没人注意她．我也有好几个星期没注意她，直到我有一次留了有关归纳法的家庭作业．我渴望想看看8年级的学生能做什么，并自然而然地期待最好的学生会答出全部问题．
看起来学生们大体上掌握了归纳法．但是我得说，这些作业看起来就是初学微积分的学生的典型做法，形式上不太漂亮，写得很不清楚．另一方面，这个女学生的归纳证明令我大吃一惊．它有完美的形式、完美的理解、完美的写法——句子完整，用了很好的连接短语，杂志要求的体裁，还有我眼中专业数学家才有的清晰和圆满．
整个一学期她一直留给我一种沉稳的印象．引起我兴趣的是：她在8年级正规数学教师的眼里似乎一点也不突出！为什么?
于是我想知道，我在大学课程中用的教学方法失察了多少像她那样的学生，我能够做些什么来寻找他们的yawp呢?
经验3 识别不引人注目的yawp人
在课程结束后，作为不无遗憾的顺便关照，我对她的父母讲，如果以后她表现出理应有的对数学的兴趣，他们应该鼓励她，因为她真的是个非凡的人．他们的反应(或者说无动于衷)好象在说：我为什么会想让我的女儿学数学? 当时我就理解到，仍然存在着社会压力把孩子们推离他们可能有天赋的方向．
4培养诗人
我考察了我以前讲过的不少主题，研究了学生的情况，并要求他们思考一下他们作为大学生时做研究的经历，不论是跟我做还是在别的地方．我称他们为诗人，因为他们已找到了他们是yawp．现在几乎他们全都在读研究生或刚读完研究生．
我问他们的一个问题是：哪些早期影响促使他们把研究数学作为努力一试的方向．一位诗人说：
我的父母对我的影响是巨大的，在我小时候他们就向我提出一些数学问题…例如，我记得父亲曾问我如果我往墙壁走，每一步只走离墙一半距离，需要走多少步才能走到．
她找到自己的yawp，是因为她的父母用提问探索性问题的方式培养了她的yawp．而且他们让她经历了自我发现的喜悦．
有一半以上的学生都提到解决难题或做数学的“问题-解答”的经历对他们产生了早期影响．许多人是有组织的“问题-解答”小组的成员，或者如一位诗人的说法，是在暑期数学活动中“染上了数学研究的狂热病”．实际上，这些小组变成了他们的诗社，他们在这些时间和场合聚集在一起朗诵诗和yawp．
在哈维·马德(Harvey Mudd)学院，安迪·贝尔诺夫(Andy Bernof)和我搞了一个“问题-解答”讨论班，这成为一种校园现象．每年秋天，大约70名学生(占我们学生数量的10％！)在周二晚上就着比萨开心地玩“问题-解答”．我们保持活跃的气氛，并允许他们分成小组活动．开始时，我们介绍几种“问题-解答”的技巧，接着让他们从5-6个候选问题里选题做，休息时吃比萨，然后就有学生给出他们的解决办法．他们有空间去自我发现，而通过让他们给出他们的解决方法，我们也就给了他们发展其yawp的空间(正像任何一个好的诗社所做的那样)．
这个讨论班现在吸引了不少并非主修数学课的学生，但是他们来这里是为了感受yawp带来的兴奋，无论是在他们解决了问题，还是看到了一个解而发出惊喜的“啊哈！”时，这就是真正的yawp在他们内心的经历．
我还要说鼓励学生是重要的吗? 当然．但我认为给予学生们自我启示的空间比这更好，这样他们能经历或表达他们的yawp．
经验4 鼓励他们? 更好的是：创建自我启示的空间
用穆尔方法(Moore-Method)教的课程是另一种使学生能找到他们的yawp，并能完成自我发现的例子．恕我在这里不再赘言，因为对此已经说得太多了；但是我作为大学生上过的最好的课程是用穆尔方法讲授的拓扑课(由迈克·斯塔伯德(Mike Statbird)讲授)，它对发展我的yawp有着深远的影响．
我们都理解对一位教授而言，能向学生提出好问题有多么重要．毕竟，一个好的问题可以促成一个发现．但现在我相信，如果你能教会学生自己提出好问题，那会更棒！
经验5 问一些好的问题? 更好的是：教他们怎样提出好问题
让我给你举个例子，是从我的同事莱斯莉·沃德(Lesley Ward)那里听到的．她在课堂上使用了“问题派生”方法，来教学生怎样提出好问题．例如，在一节分析课上，讲某个主题的部分内容后，她要求学生们分成若干小组，并分发了一些写有问题的卡片，问题都是如下形式的：
举一个…的例子?
…是如何影响…?
如果…会发生什么情况?
…和…之间有什么不同?
基于这种模式，学生们构想出涉及这堂课的各种问题，然后他们在课堂上对其进行讨论．所以，除了有效地教学生提出他们能去思考的各种问题的类型之外，学生还常常能在相互解答问题时获益！
鼓励学生提出好问题的另一个方法是奖励他们．在一些考试中，我出这样的题，在其中我要求学生写出他们乐于去回答的研究性问题，当然是基于他们已在课上学过的内容．该问题的答案不一定别人不知道，但只要对他们来说是未知的即可．如果他们给出了为提出一个问题所必须的全部想法，我会很高兴，所以我对在构想问题时给出的任何合理的尝试都给满分．
为了使我们的学生能经历真正的研究，我们当然必须给予他们未解决的问题．但是为了培养yawp能力，我相信更好是给学生无预期目标的问题(open—ended problem)．
经验6 给予未解决的问题? 更好的是：给予无预期特定目标的问题
我从我的同事迈克尔·奥里森(Michael Orrison)那里得到了一个很棒的例子，他制订了一个方案并在离散数学课上成功地使用了．在课上，他要求学生：为图的复杂性定义一种度量．据此对几个例子计算其复杂性，并证明有关你的度量的一些性质．
这是他的主要思想．这项训练的卓越之处在于它是无预期目标的，可以有许多正确答案．学生们能给出创造性的解答，他们对研究自己定义的概念很兴奋．在这一方案的最后一步，学生们要作出陈述．
通过观看已作出的陈述的幻灯片，你能看到学生们给出的充分多样的复杂性概念．更有趣的是，他们找到了创造性地表述自己思想的方法，例如，把他们对复杂性的度量描述成对诸如下列问题的回答：“为城镇扫雪有多昂贵? ”，“你有多少朋友? ”，等等．
在他们探究他们的复杂性度量的性质时，他们的yawp通常是可见的——例如，在一张最近的令人难忘的幻灯片中可看到，一个学生在认识到她的度量在关于取图的补集是个不变量时，她大声喊道：“真酷！”和“Yowza~”．这就是我看到的yawp！
在一次名为“想象数学日”的会议上，我的同事达里尔·荣(Darryl Yong)甚至将奥里森的方案改编成对高中教师的一种训练．还有很多其他方案的实例都遵循着类似的模式．例如，“什么是公正的投票程序? ”或“定义配销中心的度量标准．”上一个暑假，我给我的两个研究生出了下列无预期特定目标的问题：“列出10种凸性的推广．”在他们给出了10个以后，我要求他们集中考虑最有趣的几个，并试着用人们已经理解的性质来刻画这些凸性概念的特征．我的学生兴致勃勃地做出了一张表．最终他们选定了一个概念并证明了一些充分必要条件，人们能据此说出一个集是否满足他们的凸性概念．结果他们完全靠自己写出了论文并投了稿．因为一个无预期特定目标的问题，他们创建了新思想，并被激发去研究和探索它——他们yawp了！
5和大学生们一起研究
现在假设你已经把你的学生带到他们能够yawp的地方．你如何帮助他们将其转化成诗呢? 如果yawp是获得发现的兴奋，那么诗就是能被表达和传送的yawp．这正是对大学生的研究经历有大作用的场合．
每个指导老师面对的一个重要问题是如何选择学生．我过去总是认为对此最好的衡量标准是去选择最聪明的，或者是得到最高分数的学生．然而，现在我觉得其他的一些东西更加重要——强烈的学习动机和坚持不懈的精神．
经验7 挑选最聪明的学生? 未必；挑选学习动力足的学生
我有过一个研究做得最好的学生，她不是那种得高分模式的学生，我也没有从她的学年作业里注意到她的能力．她是一名B+等级的学生，当她联系跟我做暑期研究时，我已经把我管的研究位置给了其他学生．但她几次回来请求，所以我不厌其烦地向院长要求额外资金支持她．院长同意了．
这是我作为指导老师最有益的经历之一．我的学生在寻求研究机会时表现的坚持不懈转化成解决研究问题时的坚韧．她非常地专注而且动力十足，一次不落地参加研讨会并把上次会上讨论的一切都考虑好，或做得更多．她是那种学生：严谨，并把其时间全部用于细心地想明白问题上，考试并非展示她才能的地方，她在对付研究性问题时真正闪光了，这是对她坚持不懈和严谨的奖赏．她还是一个极好的写作者．到那个暑期末，她已完成了一篇漂亮的可直接投稿的论文！
所以，如果要我给出寻找适合做研究的学生的建议的话，我会说，聪明是重要的，但如果在一个超级聪明的学生和一个聪明且动力十足的学生中间作出选择，我会要后者．有些品质需要寻找：他们是否能坚持不懈? 他们在反映献身精神的某件事情上是否有过人的表现? 例如，这个暑假在我们系里有一对做研究的大学生，只是B等级学生，但一个是计算机游戏StarCraft的进入全国排名的玩家(nationally-ranked player)，另一个是腿袋游戏(hackey-sack)专家．他们的指导老师就报告称这两个学生正在做杰出的、可以发表的研究．
我的另一个关于潜在的适合做研究的学生的问题是：他们能写好(论文)吗? 我需要拿到一个写作样本，诸如他们写的家庭作业中的一个证明．即使你没有选到能写好文章的学生，但能知道跟你一起研究的是哪一类写作者也很好．这样的信息会有用的，例如当你要选择在团队中工作的学生时就有用．
经验8 告诉学生做研究时的兴奋之情? 更好的是：讲明(研究工作的)全部可能性
我过去通常希望我的做研究的学生把研究看成是一种真正的娱乐和令人兴奋的事．但现在，我认为他们应该了解研究的全景．我现在会预先告诉学生，研究有时是会失败的，并告诫他们，当他们真正全力对付他们所研究的问题时，大约在第4周才会有所发现．因有事先告诫，当情况真的发生时他们就不会感到惊讶，他们理解这在探索的道路上是很正常的．
顺着这样的思路，一个诗人说：
回顾过去，最有价值的心得是：怎么我的研究所寻求的东西远不及我原以为的富有魅力…这一点颇使人泄气，但是你很可能希望你幻想的泡沫在你追逐幻想过远之前就破裂为好．
就是这同一名学生还特别提到，了解期望值不会减小他对yawp的渴望——他说：“获取令人愉快的发现的期望并参与我早已认识到的那种了不起的优雅的(探索)活动，仍是让我去做研究的重要因素．”
我也为我的学生设定过自己管理好做研究的明确期望．例如，我要求他们写研究笔记，记录下他们都做了些什么．我解释说，这种笔记应写下他们今后想坚持做下去的各种想法．我也告诉他们，在研究过程中要经常并及早开始写笔记．当他们被所思考的问题难住或感到无聊时，他们可以写下他们一直在做些什么，或学会以及用写作．另一位诗人报告说：
我所学到的最好的事情之一就是(对研究活动与资料的)组织…特别是因为我后来的指导老师根本没提及这件事．
即使如这位诗人暗示的，研究生院不会教这些技巧，但我们能够教会大学生这些对他们今后有用的研究技巧．
在给做研究的学生指导时，我过去总是有这样的信念，即你应该是你所指导的课题方面的专家．毕竟，我认为我们有一种共同的担心：如果我们不知道我们自己是怎样yawp的，又怎么能培养其他人的yawp呢?但是，现在我的想法不同了．
经验9 成为你所指导的研究问题的专家? 不，让学生成为专家
我这样说的意思是什么呢? 我认为把问题的所有权给学生是非常重要的．在暑期班开始时我对学生们讲：“过了这个暑期，你们将成为本地有关这个问题的专家．你对这个问题的了解将超出此地的任何人，包括我．”这样做可以激励他们去迎接挑战，而我在暑假其余时间里的工作就是去探寻并编制出好的问题(这胜于设法给他们所有的答案，显然当时我也做不到这一点)．所以在他们研究的主题上，他们的探险所发现的东西比我邻近的任何人都多，我陪伴他们这种探险旅行，不断地提问或是建议(但决不强迫)下一步往哪儿走，我是他们的“合作探险眷’．我在旅程中倾听他们的yawp．
毫不令人惊讶，我和学生的研究会随机地穿过许多领域；举例说吧，我们的论文已发表在不同的刊物上，其中有：《随机结构与算法》，《组合理论杂志，系列A》，《离散和计算几何》，《数学分析及其应用杂志》，《美国数学月刊》和《数学生物学杂志》等．
在所有这些实例中，我根本不是相关课题的专家，但我在和学生的旅行中自然学会了必须知道的东西，经常还是学生在教我，我仅仅是个合作探险者．学生也从这种旅行中认识到，研究通常涉及对很多新的和不熟悉的事物的学习．
6建立共同体
我所听到的有关指导学生做研究的最强的忠告之一是有关于促进学生独立精神的箴言．我相信这在研究过程相当靠后的阶段是正确的，但我强烈地反对在做研究的早期阶段就这样做．
经验10 鼓励独立精神? 不！给予精密细致的指导，并建立(研究)共同体
例如，我认为非常重要的一点是经常并有规律地会面，特别是在研究过程开始时．会面时，你总是应该为做研究的学生确定一个工作目标，以备下次会面．这样做就给他们一些具体可做和可报告的事情，并给下次会面构建活动的框架．尤其重要的是让学生详细写出每次会面的内容．这样做可以让他们提炼自己的思想，并聚焦于讨论的问题．
当写真正的论文的时间到来时，我总是和我的学生坐在电脑前一起写，至少要写几页．这不仅能帮助他顺利地开始写论文，而且这样做也给学生树立如何写作的可仿效的榜样．最初学生通常会惊讶地注意到我特别关注定义的正确性，所用符号的一致性，或是确保推理所依据的事实的正确性．他们看到我是怎样考虑写作的，从而也能开始做同样的事．
在整个研究过程中，我希望我的学生了解数学确实是一项社会事业．作为一个共同体，我们决定什么是重要的，我们的工作要依赖于别人的工作，我们和其他人一起工作以推动这个领域前进．有一项计划，我让一名本科生参加我和一位德国的经济学家的研究工作，我让我的学生参加全部讨论(一些是通过电话，一些是在我的合作者来访时)．通过全过程的参与，她能看到一种合作的方式，还能看到在这种社会背景下学会很好地交流思想有多么重要．
诗人们报告说：
我的研究经验肯定地有助于我学习写论文，或许更重要的是帮我学会与别人合写论文．
与除你之外的其他人一起做研究，当他们具有不同的能力时，就展现了不同的可能性．
与另外一个人一起研究一个问题，跟我过去一直参加的任一小组的研究完全不同．我想让学生了解在他们的数学研究中建立共同体的重要性．我希望他们能看到，通过合作他们真的会有大量的有趣的yawp聚集在一起，不管它们是始终坚持不懈地探究问题还是真的解决了问题时所获得的喜悦．正像一句瑞典谚语所说：分享的欢乐是加倍的欢乐．分担的悲痛则使悲痛减半．
总结一下，我是怎样回答如下问题的：你如何使一个学习者转变成发现者?
培养yawp．
恢复他们孩子般的好奇心和想象力．
识别不引人注目的yawp人．
创建自我启示的空间．
教他们怎样提出好问题．
选择学习动力足的学生．
给予可发挥想象力的、无预期特定目标的问题．
讲明(研究工作的)全部可能性．
让学生成为专家．
给予精密细致的指导，并建立(研究)共同体．
约翰·基廷不教他的学生作诗；他帮助他们获得yawp，他帮助他们栖身于诗中．他鼓励像孩子般的顽皮．他在复活的诗社里为他的学生们创造了自我启发的空间，即使他自己从未参加一次聚会．他教给他们如何为诗找到好的主题．他设法使学生获得动力、用心静听．他鼓励创造性，鼓励创建共同体．让我们帮我们的学生找到他们的yawp并将其转化成诗．
