感应重力是量子引力理论的一个观点，时空的结构不是基本的，而是潜在的(尚不为人知的)微观自由度的粗糙粒度近似(类似于大量原子或分子形成的气体)。
感应引力是由于“更基本的非引力自由度的动力学的集体运动”而产生的。- 图1，根据感应引力理论，时空连续体可以看作是某些基本微观结构的宏观极限。在这里，我们将研究物理学家泰德·雅各布森提出的一个思想，即爱因斯坦的引力可以从热力学中得到
在这篇文章中，我们将研究1995年由美国理论物理学家泰德·雅各布森提出的一个思想，即爱因斯坦的引力方程可以从热力学中导出。这意味着爱因斯坦的方程可以被看作是一个状态方程，一个与描述物质状态的变量相关的热力学方程（例如，理想气体定律）。
- 图2，法国物理学家萨迪·卡诺被认为是热力学之父，被认为是热力学的奠基人
时空中的熵和视界
在70年代，墨西哥出生的以色列裔美国理论物理学家雅各布·贝肯斯坦和英国理论物理学家和宇宙学家斯蒂芬·霍金指出，黑洞的热力学熵与其事件视界的面积成正比。
- 方程1，贝肯斯坦-霍金熵。
其中G、c、h和k表示牛顿引力常数、光速、普朗克常数和波尔兹曼常数。请注意，通过检查这个表达式中的常数，我们推断黑洞位于引力、量子力学和热力学的交叉点，因为：
- G是万有引力常数，在牛顿万有引力定律和爱因斯坦万有引力理论中需要计算万有引力效应。
- h是普朗克常数，将光子的能量与其频率联系起来（光子是光的粒子）。
- k是玻尔兹曼常数，是将气体中粒子的平均动能与其热力学温度联系起来的比例因子。
- 图3，贝肯斯坦-霍金熵是归因于黑洞的熵，它与视界面积的1/4成比例。
黑洞并不是唯一携带熵的时空结构。另外两个重要的例子是：
- 德西特(dS)空间中的宇宙学视界
- 伦德勒时空中依赖观测者的视界（一个代表闵可夫斯基时空的坐标系统，它描述了匀加速观测者）。这种类型的视界，在这里是中心，有一个熵和一个温度。后者与观察者的加速度成正比，它的存在暗示着时空本身编码了热力学信息。
- 图四，雅各布·贝肯斯坦和斯蒂芬·霍金，第一个证明黑洞的热力学熵与其事件视界的面积成正比的人。
引用美国著名理论物理学家罗伯特·沃尔德的话，他对引力物理学的研究做出了重要贡献，比如发现了黑洞熵的一般公式，发展了弯曲时空中量子场论的严格公式：
我相信，黑洞和热力学之间的关系为我们提供了目前关于引力、热力学和量子物理本质的最深刻的见解。——罗伯特·瓦尔德
我们的结论是，既然我们可以把温度和熵与时空区域联系起来，那么假定它们的性质可能与宏观尺度上的物质的性质有一些相似之处也不是不合理的。
这个观点表明，量子化爱因斯坦方程可能并不比量子化空气中声音的波动方程更合适。
泰德·雅各布森和爱因斯坦的状态方程
正如在引言中所描述的，在1995年的一篇文章中，泰德·雅各布森表明，爱因斯坦的方程可以通过将热力学定律应用于所谓的伦德勒视界而得到。
这个概念将在下面详细描述，但要完全理解它，我们首先需要回顾一下爱因斯坦相对论中的一些初步概念。
值得注意的是，如果我们用热力学的论据来推导爱因斯坦方程，我们就不能用几何的方式来解释这些方程。如果我们假设引力本质上是一种热力学现象，那么爱因斯坦方程必须用热力学概念来解释。换句话说，引力动力学必须根据时空的热演化来重新表达。
初步的概念
向量和对偶向量
我们首先需要定义什么是向量和对偶向量。流形可以被定义为在其每个点附近类似于欧几里得空间的空间。
- 图5：一个二维流形M带有λ参数化的曲线γ
现在考虑λ参数化流形上的曲线γ（见图5）。它可以由参数方程描述：
- 方程2：曲线γ在M上的坐标，被λ参数化。
图6显示了沿圆柱体表面的曲线的示例。它由以下参数方程给出：
- 方程3，沿圆柱体表面螺旋线的曲线坐标的λ参数化方程。
- 图6，由方程3给出的曲线。
现在考虑一个沿M上γ曲线定义的函数f，它如何沿λ参数曲线变化？
- 方程4，函数f沿γ曲线随λ参数的变化。
我们可以确定切向量的分量和函数f的梯度。梯度被称为对偶向量。用“，”表示偏导数，我们写：
- 方程5，矢量和对偶矢量的分量。
下图显示了λ参数化曲线γ的切矢量u：
- 图7，在P点，与流形相切的平面以及切向量
向量和对偶向量在坐标变换下进行不同的变换：
- 方程6
张量
我们现在考虑张量（读者自行查阅张量的解释)。向量是(1,0)类型的张量。对偶向量是(0,1)类型的张量。为了得到更高秩的一般张量，我们首先建立：
- 方程7，(2,0)型张量的一个简单例子。
它是一种特殊的(2，0)张量，加上几个像T这样的张量，就得到了一个(2，0)型的一般张量：
- 方程8，一般(2，0)型张量的一个例子。
在一个坐标变换下，T变换为：
- 方程9，一个二阶逆变张量在坐标变换后是如何变化的。
如果有两个下标，则T是(0，2)型。张量也可以有混合上（下）标，如下面的(1，1)张量：
- 方程10，混合张量的分量在坐标变换后如何变化。
李导数
李导数是微分几何中的一个概念，微分几何是一门应用微积分、线性代数和多线性代数来解决几何问题的数学学科。这种类型的微分，以挪威数学家索普斯·李命名，计算张量场沿另一个矢量场流动的变化。
- 图8，挪威数学家马略·索普斯·李和他最重要的论文《变形理论》的头版。
假设我们有一个向量场A，在时空区域内，在A的附近有一条γ曲线。γ的切矢量为u = dx/dλ。我们考虑曲线上的两点，x和x+dx。
- 图9，时空区域内的向量场A，两个点x和x+dx在该区域内，一个包含两个点的曲线γ，和一个与γ相切的向量。
在dx的无穷小变化下：
- 方程11，坐标的无限小变化（图9）。
向量A的变换方式如下：
- 方程12
现在，x+dx中原始向量场的值可以写成：
- 方程13
A沿γ曲线的李导数定义为：
- 方程14，对偶向量A沿着曲线γ的李导数的定义。
切向量u是我们进行李导数的方向。
我们可以用下面的结构更好地理解李导数。任何向量场都是由它所对应的切线场的曲线的同余来定义的。然后我们画一条在P点与A相切的曲线（曲线的其余部分可以是任何形式）。然后我们用λ参数化第一条曲线。我们在P点选择λ=1，并使用交叉曲线将其他曲线的参数化固定为λ=1。λ在每条曲线上的变化率是由它的切向量决定的。然后在所有的同余曲线上滑动dλ。注意到穿过Q的交叉曲线和穿过P的曲线是紧密联系在一起的，在Q处有一个向量A '与新的曲线相切，因为在Q处有两个向量，我们可以减去它们。李导数为：
- 方程15，对偶向量A的李导数的几何定义。
结构如下图所示:
- 图10，上面描述的几何结构。
李导数是一个张量表达式，与其表面相反，因为我们可以将其重写为：
- 方程16，写成张量对象的李导数。
对偶变量变换为：
- 方程17，对偶向量A沿着曲线γ的李导数。
现在考虑一个不依赖于某个坐标的向量A，比如某个特定坐标系中的x⁰。
- 方程18，A在某些特定的坐标系中并不依赖于x⁰。
*表示对应的等式在一个特定的坐标系中有效。因此，我们有一组A不变的x⁰曲线。在这个坐标系中：
- 方程19，A不变的x⁰曲线集的切向量
- 图11，在A不变的地方，x⁰继续增加的曲线集。
由方程19可得：
我们可以将方程18重写为：
这些方程暗示着：
- 方程20，向量A沿切向量U曲线的李导数。
这个方程表示了A在U方向上的不变性，但是左边的李导与坐标系无关。因此，既然它在一个坐标系中为零，那么它在所有坐标系中都为零。
一类-(0,2)张量的李导数为：
- 方程21
考虑一个张量A与某个坐标x⁰无关的坐标系。这些可以用两种不同的方式表达：
- 用坐标表示是方程18
- 以协变的方式来说明，当向量场U与x⁰所在的坐标对齐时，Lie导数为零。
- 方程22，以协变的方式表示，当在时空中的某个方向（在这种情况下是U）平移时A是不变的。
方程22表示张量A在向量U方向上的不变性。
如果我们的时空是对称的，这个概念就会变得非常重要。例如，如果向量不依赖于时间x⁰或者向量不依赖于沿某个轴的旋转，用协变的方式来表达这个的方法是说这个张量的李导在合适的方向上是零，无论是在时间上的平移还是沿着轴的旋转。这个有对称性的矢量就变成了所谓的基灵矢量（ Killing vector）。
- 图12，德国数学家Wilhelm Killing和他的论文。该论文被加拿大著名数学家A. J. Coleman认为是“五十年来他读过或听说过的最重要的数学论文”。
基灵矢量和对称性
一个基灵矢量是一个向量场ξ，可使沿ξ方向的度规李导数为零：
- 方程23，基灵矢量的定义
如果在给定的坐标系中度规不依赖于坐标σ*， ξ的α-分量为：
我们也可以写出ξ和它的α分量为：
方程23表明度规在有ξ点的方向上是对称的。度规的对称性叫做等距。
利用李导数的定义，我们得到：
- 方程24，基灵矢量服从的条件。
我们也可以用基灵矢量来获得沿测地线的运动常数。若u与测地线相切，则ξ值符合方程23是很容易证明的，其结果如下：
- 方程25，用上述方程可以很容易地证明这个方程，它给出了沿测地线运动的常数。
等距线为沿测地线的守恒量提供了原点。更确切地说，基灵矢量 ξ产生等距，且在此条件下g不变的变换可无限小地表示为ξ方向的运动。
为了清楚起见，现在让我们考虑一些基灵矢量及其相应对称性的简单例子。
示例1
以R³中的度规为例：
- 方程26
注意，度规不依赖于x、y或z。因此，以下三个向量是对应于平移的基灵矢量：
- 方程27
在R³中还有其他的对称性。将方程26写成球坐标，度规为：
- 方程28，方程26用球坐标表示。
- 图13，方程28中变量的定义
由于g的各分量是独立于ϕ的，
是R³的另一个基灵矢量。在笛卡尔坐标系下，这变成了：
- 方程30
绕着另外两个轴旋转就得到了另外两个基灵矢量。
示例2
现在考虑一个球对称时空（例如史瓦西度规）：
- 方程31，球对称时空。
因为度规g不依赖于t，也不依赖于ϕ，所以时间平移和绕z轴的旋转都是等距的例子。有两个明显的基灵矢量：
- 方程32
以下量（与单位质量的能量和角动量有关）沿着向量u相切的测地线是恒定的：
- 方程33，沿测地线u相切的两个常数。
基灵视界
让我们考虑一个零超曲面（例如，一个光锥）。根据定义，它是一个在每一点的法向量为零的超曲面（它相对于局部度规张量g的长度为零）。一个基灵视界 Σ 是一个基灵向量场的范数消失的零超曲面。
例如，在惯性坐标下的闵可夫斯基时空中，x方向上产生升力的类时基灵向量如下：
- 方程34，在闵可夫斯基时空中产生x方向升力的基灵向量。
其范数下式给出：
- 方程35
当ξ值为常数时，它的轨道是用双曲线表示匀加速观察者的世界线，且加速度为a = 1/ξ。当ξ→0时，加速度增加，升力基灵向量场产生一个分岔基灵视界。
- 方程36，与方程35对应的零面。
即所谓的伦德勒视界。
因此，这些零面是基灵视界。由于一个基灵向量ξ与它的基灵视界Σ呈正相关，因此沿着Σ，服从测地线方程：
- 方程37，表面引力κ的定义。
κ叫做表面引力。对于静态时空，κ是静态观测者在视界附近的加速度，由静态观测者在∞处测量。
伦德勒楔
考虑一个任意的时空点p。在局部，围绕p的时空是平坦的（由于等效原理）。现在选择一个包含P的类空间2-surface上的“小补丁”B，并引入黎曼法坐标（RNC）。RNC的度规为：
- 方程38，RNC在p点处的度规。
补丁B上各点的坐标为：
- 方程39
例如，在z方向上添加过去和未来的光片，我们得到：
- 方程40，过去和未来光片上z方向的坐标。
方程40描述了如下所示的局部伦德勒楔。
- 图14，伦德勒楔。
现在考虑一张双曲型时间观测者接近零面。它们的坐标，速度和加速度是：
a是观察者加速度：
描述近似均匀加速的观察者。对于这样的观察者来说，伦德勒楔的光片形成了伦德勒视界。因果视界是由与观察者因果相连的点组成的空间区域的边界。更准确地说，因果视界是一个超曲面，它是指向外并向外移动的光线 （dz/dt>0）和指向外但向内移动的光线（dz/dt<0）之间的边界。
弯曲时空中的量子场论的一个著名结果是，对于以均匀固有加速度运动的观察者来说，闵可夫斯基真空状态表现为粒子在所谓安鲁温度下的“热浴”。
- 方程42，安鲁温度
导出状态方程
现在让我们详细考虑雅各布森的推导所需要的几何结构。注意，下面的结构不是在过去的视界上，而是在未来的视界上。然而，结果并没有改变。此外，从现在起，从贝肯斯坦-霍金熵中，我们将只保留常数G和h。
几何结构
图16是整个结构。考虑时空M中的点p和包含p的无限小邻域。对于一个小的、局部平坦的邻域，我们可以定义一个由时间坐标t参数化的类空间。
- 图15，一个由时间坐标t参数化的类空间
p点位于t=t₁位置，位于类似于空间的codimension-one超表面Σ₁上（codimension-one表示由于M的维数为d=4，亚流形 Σ₁的维数为d=4 - 1=3）。现在来介绍一个类似于空格的codimension-two，大致是扁平的patch P₁（d=2的子流形），在P₁内部构造一个局部惯性坐标系。
相对平坦度的选择表明，相对于patch P₁而言，零一致性的膨胀系数θ≈0，剪切张量σ≈0。这是必要的，因为在这个分析中，系统选择处于热力学平衡。
我们现在引入一个封闭的空间型codimensional -two 表面 B₁，使得P₁⊂ B₁ ，然后选择一个未来向内的null direction（空一致性），这个空一致性的来源是B₁。B₁内部的类空区域是R₁。沿着全等和切向量选择一个仿射参数λ：
- 方程43，切向量沿着全等性向未来递增。
这个一致性会生成一个空的超表面H。在t=t₂，在一个包含着另一个类空间补丁P₂的类空间的codimension-two 表面B₂，H相交于另一个类空间的超表面 Σ₂。因此，P₁演变成了P₂。我们用R₂来表示B₂内部的区域。
注意H是图14中加速观测者的局部伦德勒视界。因此，我们可以选择一个近似的基灵向量场ξ为H的产生量，并间接地定义为：
- 公式44
对于仿射参数λ，方程44给出了κ。局部伦德勒视界的面元为：
- 方程45，局部伦德勒视界的表面元素。
其中dA为codimension-two类空间截面面积元素。
- 图16，文本中描述的几何结构的插图。
然后我们定义流过视界的能量，假设它全部是热量。热被解释为能量流动成宏观上不可观测的自由度。剩余热流为：
- 方程46
从结构上讲，我们的热力学系统对应于局部伦德勒视界以外的自由度，即相对于R₁区域。相对于δQ, H的变化值是δA = A₁-A₂，其中 A₁和A₂分别是相对于P₁和P₂的最初和最终区域。它由以下积分给出：
- 方程47，当δQ与H交叉时，H的面积变化。
其中，θ是视界发生器的扩展，定义为：
- 方程48，视界产生点的面积变化。
当δQ穿过H时，H的面积变化（减少）δA = A₁-A₂。
雅各布森接着做了两个重要的假设，克劳修斯关系的正确性，这是连接热、熵和温度的基本关系：
- 方程49，克劳修斯关系式
在局部因果视界中，并且系统是全息的，因为熵S与视界A的面积成比例：
- 方程50
其中常数α是普遍的（应该指出的是，在这种情况下，关于熵的精确定义有一些讨论）。因此，与某一视界的δA变化相联系的是比例熵变化dS =αδA。温度是方程42中最稳定的温度。
生成视界的零测地线同余的演化可以用Raychaudhuri方程来描述：
- 方程51
其中σ是剪切张量。张量R是里奇曲率张量。
对Raychaudhuri方程积分，代入δA积分，利用S和A的比例，我们得到：
- 方程52，熵变。
克劳修斯关系表明：
对于任意一个k的选择。利用能量-动量守恒和一些简单的张量代数，我们最终得到了爱因斯坦在p点的场方程（EFE）：
- 方程53，爱因斯坦的运动方程作为状态方程。
α的选择是与EFE和贝肯斯坦-霍金熵的一致性所必需的。注意，由于p是任意的，这个结果表明爱因斯坦的场方程在整个时空中都是服从的。
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