调和级数为什么发散
调和级数是指一种无限级数,每一项都是分数形式的递增数列。调和级数的通项公式为:$H_n= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n}$. 调和级数自然数越大,分数就越小,因此看似无限趋近于0,但它却是发散的,下面我们来探究一下其原因。
调和级数的收敛性
要了解调和级数为什么发散,首先需要了解调和级数的收敛判断标准。对于一般变号级数,若其正项级数收敛,负项级数也收敛,则该级数收敛;若其正项级数发散,负项级数也发散,则该级数发散;若正项级数收敛而负项级数发散,则该级数为条件收敛。
那么,对于调和级数,它可以表示为下面两个部分的级数之和:
$$H_n= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n}$$
$$H_{2n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$$
我们可以发现,当$n$充分大时,$H_{2n}$与$H_n$非常接近,因此,我们可以推断出调和级数$H_n$是发散的。下面我们来更具数学的角度来证明一下。
证明调和级数的发散性
由于调和级数每一项都是递增的,我们可以采用比较判别法来证明它的发散性。令$m=2^k(k为自然数)$,则:
$$\sum_{n=m}^{2m}\frac{1}{n}>\frac{m}{2m}=\frac{1}{2}$$
也就是说,当调和级数的下标在$2^k$和$2^{k+1}$之间时,其值大于$\frac{1}{2}$。所以:
$$H_{2^k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2^k}>k\times\frac{1}{2}=\frac{k}{2}$$
这个结论告诉我们,调和级数是发散的。因为当$k$足够大时,无限接近于$\infty$。
调和级数的应用
虽然调和级数本身发散,但是,它在一些问题中却发挥着很大的作用。例如,它可以用来刻画平均服务时间和平均等待时间。在概率论中,调和级数也起到了较为重要的作用。
总之,调和级数由于其发散性,在许多问题中并不是很实用,但是,在某些情况下,它的应用是不可或缺的。