没有什么晦涩的内容，但细品一下，就会发现其中大有说法。为什么说整数是上帝创造的，而其它的都是人造的？
其实，这句名言涉及数的发展和扩充历史。 在人类发展的历史上，数的概念的扩充是一个循序渐进的过程。
整数是用于计数的，位于数系的核心。克罗内克这里说的整数，应该是指自然数。自然数，顾名思义，是大自然的客观存在。自然数自宇宙诞生之日起就存在，等待具有智慧的生物去发现它并表示它，正如扎西拉姆·多多的一首歌曲《班扎古鲁白玛的沉默》中的歌词所说“你见，或者不见我，我就在那里”。数数是人类诞生起就面临的最基本任务，不论在地球的哪个角落，虽然不同的文明和国家对数字的表示方式可能千差万别，但终究面临着要判断自己早上放出去的牛羊晚上有没有全部归来的问题。所以，自然数不是人造的，人类只是给了它一个表示符号而已。不同的文明早期发明了不同的计数系统用于计数，有十进制的，也有六十进制的。同一个自然数，在不同的计数系统里可以有不同的表示，但它的内涵都一样。
数系的每一次扩充，都是人们为了解决原来数系中的某些矛盾，随之而来的是数的应用范围的扩大。自然数对加法封闭，但对减法不封闭，因此引入了负数。整数系对乘法封闭，但对除法不封闭，因此引入了有理数。任何有理数都可以表示为两个整数之比，解决了整数集合对除法不封闭的问题。无理数解决了有些长度不可公度（即不能表示成两个整数之比）的矛盾。虚数则解决了负数不能开方的矛盾。
所以，这三句名言，你读懂了吗？
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作者简介：昍爸，中科院计算机博士，曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学满分。现为大学计算机专业教授，平时注重提升孩子的数学和计算思维，开设有公号xuanbamath。
