作者|严家安
这篇文章是在作者《数学如诗》(《科技导报》《权秀鱼》，2013年发表31卷上旬杂志)文章的基础上扩大改编的，感谢严家安院士授权本刊！
王国维在《人间词话》中提出：“词以境界为第一位。”境界自成高格，自有名句。"他是这么想的。"庆尚也不能说是景物，我认为喜怒哀乐也是人心中的境界之一。因此，能够描述风景真实感情的人，据说是有境界的。不然就叫无境界。“他说：“有造景，有写作，有这个‘理想’和‘现实主义’两派的理由。”他还把境界分为“无我的境界”和“我的境界”。关于诗人的修养，他指出：“诗人对宇宙生活必须进入其中，除此之外。”差不多是里面的，所以可以写出来；外面可以看到。进到里面就生气了。除此之外，还有很高的原因。”另外，王国维借用古代诗人的词句，提出了著名的治学“三境界”。根据我的理解，这三个境界是“至尊高原、艰苦探索、最终领悟”。
我认为评价数学成就的高低也应该成为一种境界。数学的境界有些方面与诗歌的境界相通，数学家也说过：“对于宇宙生活，一定要进入其中，另外还要在其中。”数学也有“创造理论”和“解决问题”“创造环境”和“写作环境”的区分。我认为数学的境界可能有以下内容。1)从大路到简，大美天成；2)萨米：简洁、和谐、对称、优雅；3)不同季度的交叉和整合；4)数学内部的统一。
数学家哈代认为数学家的活动与艺术家的活动很相似，很相似。他说：“画家组合色彩和形态，音乐家组合音阶，诗人调查，数学家组合一定类型的概念。”所以，无论是艺术家还是数学家，他们做的都是组合，但组合对象不同。数学家维纳更认为“数学是美丽的艺术”。数学诗有很多共同点，下面概括为8点。
第一，数学和诗歌的来源都是自然和社会。宋代大诗人陆瑜告诫儿子：“过滤要学诗，功夫在诗外。”这首诗之外是诗人对日常生活和自然的细致观察、体验和感悟，是诗歌创作的源泉。数学研究也类似于诗歌创作。数学历史学家克莱恩认为：“对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉。”丘成桐在一次公开演讲中说，他的研究深受物理学和工程学的影响，这些科学提供了数学的重要素材。他这样说。“没有物理观点，很难想象单靠几何结构就能得到深入的结果。”
第二，数学和诗歌都追求和谐和简洁。诗是所有文艺作品中最追求和谐和简洁的。诗是通过简洁的语言和韵律，表达诗人的感情，努力表达深刻的哲理。例如苏轼的诗句“不知道庐山的真面目，只在这座山上”和刘禹锡的诗句表达了简洁但深刻的哲理：“沉船旁有千帆而过，病树前有万木春。”数学的和谐是不言而喻的。在数学的各个分支中，公理化体系必须协调一致。关于数学的简洁，一方面数学结果以简洁的命题或定理的形式表达。另一方面，在研究过程中，数学家们尽量做出广泛而深刻的结论，或者简化现有结果的证据。
第三，数学中的“大邱”和诗词中的“对抗”如异曲同工。时事中的“对抗”使意境更美丽，抒情更感人，哲理更深刻。数学的“大邱”使数学理论更加深刻和美丽。数学的“双重性”不仅是数学的结构和框架，也是思维方式和重要的证明工具和技巧。
第四，数学和诗歌的创作都需要直觉和想象力。当然，任何科学或艺术的创作都需要直觉和想象力，但数学和诗歌更为突出。例如，李白《望庐山瀑布》的诗句“直行3000英尺，银河疑似下降9天”，富有直觉和想象力。这种直觉和想象力来自诗人的形象思维。数学史克莱因说：“在预测可以证明的内容时，和构思证明的方法时一样，数学家们利用高度的直觉和想象力。”想象力是形象思维能力。形象思维能力取决于一个人的文化素质。文化素质高的人思维广，联想丰富，触摸类别的旁通，形象思维能力强。德国诗人歌德说：“只有通过艺术，特别是诗歌，想象力才能被激活。”想象力似乎与一个人的艺术修养有着更密切的关系。爱因斯坦是小提琴演奏高手。他坦言：“物理学给我的知识，艺术给我想象力，知识是有限的，艺术开辟的想象力是无限的。”他有句名言：“想象力比知识更重要。”
第五，诗歌创作和数学研究都需要热情和灵感。诗人要有热情，才能加深和扩大自己的觉悟，宣泄内心的情感，这样作品才能打动和感染人。在数学研究方面，热情来自于探索未知真理的好奇心和对美的追求。灵感也叫领悟，它是一种无意识或无意识的不合逻辑的创造性思维活动。灵感是对某个问题进行长期思考后突然产生的思想火花，有时是全神贯注思考问题时产生的，有时是无心的，有时是意识朦胧的。灵感有时来自于对其他现象的比喻和联想。例如，英国物理学家斯科特罗素(Scott Russell)有一天在河边散步时，观察到从他身边经过的小木船以单峰的形式缠绕向前扩散的激浪，受到启发，后来提出了著名的“孤立派”理论。
六、数学研究和诗歌创作
都需要有美感。法国数学家庞加莱认为：“美感，对美观与优雅的感觉，在数学的成功中是一个重要的因素。” 他在《数学创造》一文中形象地描述了数学美感在数学创造过程中的作用，他说：“各种数学概念在潜意识里碰撞组合，数学直觉从中筛选有意义的组合，进而进行创造。…… 潜意识做出选择时，所用的标准便是数学的美感，数和形的和谐感，几何学的雅致感。”数学史家克莱因认为：“进行数学创造 的最主要驱动力是对美的追求。”第七，“创新”是数学和诗歌的共同美学准则（即评价标准）。艺术家把“创新”叫做“艺术风格”。诗人由于生活经历、艺术修养、审美取向以及个性特征的不同，在作品的题材、表现手法、风貌和艺术境界方面形成了独特的艺术风格。例如，李白的诗“豪迈奔放，飘逸若仙”，是浪漫主义风格；杜甫的诗则“深沉蕴蓄，抑扬曲折”，是现实主义风格。对数学研究而言，创新必须是在一定科学范围内有比较重要的意义。
最后，数学和诗歌的另一共同美学准则就是王国维在《人间词话》中所说的“境界为上”。数学的境界还包括学者选题的学术品位和问题的深度，而不在于论文里面用的技巧多高，技巧始终是第二位的。
下面举几个高境界的数学例子。首先是两个美妙的数学公式。一是欧拉公式 ，它把数学里面最基本的几个要素全都整合在一块了，其中1是自然数的单位，0是正负数的分界点，e是自然对数的底，是圆周率，i是虚数单位。第二个欧拉公式 ，公式表明：任何一个简单凸多面体，它的顶点数V加上面数E，减去棱数F必定等于2。这两个欧拉公式堪称“大道至简、大美天成”的数学公式。数论中的两个著名猜想“哥德巴赫猜想”（任何大于2的偶数可以表为两个素数之和）和“孪生数猜想”（存在无穷多对素数其差等于2 ）更是最高境界的数学，尽管它们都还没有得到证明。又如庞加萊猜想，费尔马大定理，四色定理，Atiyah-Singer 指标定理，伽罗瓦群论，黎曼几何，黎曼假设，哥德尔不完备定理，香农信息论，格罗滕迪克的代数几何等都是最高境界的数学。
最后介绍一本高境界的堪称“大美天成”的数学著作《Proofs from The Book》。本书收录了40多个著名数学问题极富创造性和独具匠心的证明。这是一本开阔数学视野和提高数学修养的著作。该书已被译成十多种文字，有中译本，第3版的书名是《数学天书的证明》，我觉得书名中有“天书”二字不妥。我曾向出版社建议把书名改为《数学天成之证》。后来出版社邀我为该书扉页题词，我写下了“天成之证”。
