要证明一个数学猜想困难无比，推翻一个数学猜想却只需一个反例！
数学史上有很多著名的猜想，历经了几十年甚至几百年，无数数学家的努力才将之证明出来，或者推翻．到目前为止，还有一些猜想没有证明出来了，例如黎曼猜想，哥德巴赫猜想等．今天我们看看那些表面成立，最后却被推翻的猜想．
平行线第五公设的证明
欧几里德几何也就是我们大多数人所学的平面几何，平面几何的整个基石就是那五条公设，也就是我们数学中的公理，也即不用证明公认的定理．
数学家们对前四条公设是认可的，但一直对第五条公设有怀疑．针对第五条公设，数学家们经历了长期的探索，发展出了非欧几何，也就是现在所讲的双曲几何（罗巴切夫斯基几何）和椭圆几何（黎曼几何）．不得不讲，错误的猜想也是有其巨大意义的，
费马数猜想
这个猜想是针对素数规律的一个猜想，当n为正整数时，以下这个代数式所求的数是素数．
当你将1、2、3、4等代入时，都可以验证为素数．于是猜想它就是素数的表达式，可能是由于将５代入时数据太大的原因．确实，５代入后还真的不是素数，这样这个猜想也就被推翻了．
西塔潘猜想
西塔潘猜想是由英国数理逻辑学家于上个世纪90年代提出的一个反推数学领域关于拉姆齐二染色定理证明强度的猜想。在组合数学上，拉姆齐（Ramsey）定理是要解决以下的问题：要找这样一个最小的数n，使得n个人中必定有k个人相识或l个人互不相识。
2011年5月，由北京大学、南京大学和浙江师范大学联合举办的逻辑学术会议在浙江师范大学举行，中南大学数学科学与计算技术学院酷爱数理逻辑的刘嘉忆的报告给这一悬而未决的公开问题一个否定式的回答，彻底解决了西塔潘的猜想，证明了R(3,3)=6。也称为拉姆齐二染色定理。
当然，还有一些著名的猜想被推翻的或者无法证明的．虽然被推翻，但它们在数学上的意义却是重大的．要么是另一个数学分支的产生，或者对其他数学分支发展产生重大作用．
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