1.数字组合:数学中有很多需要考虑数字组成、分组的问题,这种问题通常称为数字组合。
2.解决这类问题时,要运用以前学过的加法原理、乘法原理、排列等方法,这类问题的解决通常与这几种方法联系紧密,综合运用这几种方法分步骤完成组合问题。
3.在讨论组合的数字问题时,要做到按一定的方法与步骤进行分组,在分组时做到不重复不遗漏。在认真分组的基础上,再综合运用各种方法求出每个步骤的结果,最后把所有的步骤的结果相加。
精讲1:由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复的三位偶数?没有重复的四位偶数?
解:(1)组成没有重复的三位偶数,偶数的个位可以是0或2,当个位是0时,百位、十位由数字1、2、3组成,有120、210、130、310、230、320共6个;当个位是2时,百位、十位由数字0、1、3组成,有102、302、132、312共4个;所以组成没有重复的三位偶数有:6+4=10(个)。
(2)没有重复的四位偶数,个位是0或2,当个位是0时,千位、百位、十位由数字1、2、3组成,有1230、1320、2130、2310、3120、3210共6个;当个位是2时,千位、百位、十位由数字0、1、3组成,有1302、1032、3012、3102共4个;所以组成没有重复的四位偶数有:6+4=10(个)。
精讲2:有A、B两个女孩子站一行拍照,这时又来了C、D、F三位男孩子一起拍,如果男孩子要站在女孩子后面,请问:这5人拍照一共有多少种不同的站法?
分析:2个女孩子站前排,有AB、BA,共2种站法;3个男孩子站后排,有CDF、CFD、DCF、DFC、FCD、FDC,共6种站法。
解:2×6=12(种)
答:这5人拍照一共有12种不同的站法。
精讲3:如图共有(4×4)16个小方格,要把A,B,C,D四枚不同的棋子放在方格里,每行和每列只能出现一枚棋子,共有多少种方法?
解:第一步先放第一枚棋子,有ABCD四枚棋子,一行4个位置,
共4×4=16(种);
第二步放第二个棋子,由于与第一个棋子不同行,不同列,只剩下
3个字母与3列共:3×3=9(种);
第三步放第三个棋子,只剩下2个字母与2列,共2×2=4(种);
第四步放第四个棋子,只剩下1个字谜与1列,共1×1=1(种)。
共16×9×4×1=576(种)。
答:共有576种方法。
精讲4:某校举行象棋单循环赛,有10个队参加。问:共需要进行多少场比赛(两队间只比赛1次,称作1场)?
分析:象棋比赛是单循环制的,因此,10个队中的每两个队都要进行一场比赛,并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关。因此,每个队都必须比赛9场(跟自己不需要下),但甲与乙下、乙与甲下是同一场比赛,所以在总场数上除以2。
解:10×9÷2=45(场)
答:共需要进行45场比赛。
精讲5:学校演讲比赛,四年级一班要在30人中选出2人代表班级参加,请问有多少种选法?如果在30人中选2人站成一排,有多少种站法?
分析:要在30人中选2人去参加学校演讲比赛,选第一人有30种可能,选第二人有29种可能,但AB与BA属于同一种选法。因此,两个选法相乘后要除以2.在30人中选2人站成一排,选第一人有30种可能,选第二人有29种可能,把两个步骤相乘。
解:30×29÷2=435(种)
30×29=870(种)
答:在30人中选2人代表班级参加,有435种选法;在30人中选2人站成一排,有870种站法。