四维世界
第一，时间是四维的
在《从一到无穷大》上选择
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第四维这个概念通常被神秘和怀疑所笼罩。
我们这些只有长、宽、高的生物如何敢谈及四维空间呢？凭借我们全部的三维智力，有可能设想一个四维的超空间吗？一个四维的立方体或球体会是什么样子呢？我们说“想象”一条尾巴披鳞、鼻孔喷火的巨龙，或者一架带有游泳池、机翼上有两个网球场的超级客机时，实际上是在心灵中描绘这些东西真的突然出现在我们面前时的样子。我们是以那个所有普通物体（包括我们自己在内）都位于其中的大家所熟悉的三维空间为背景来描绘这幅图像的。如果这就是“想象”一词的含义，我们就无法以普通三维空间为背景来想象一个四维的物体，一如我们无法将三维物体压入平面。不过且慢，在某种意义上我们的确可以将一个三维物体压入平面，那就是在平面上画出这个三维物体。不过，在所有这些情况下，我们当然不是用一台水压机或任何其他物理的力量来实现的，而是用所谓的几何“投影”法进行的。由图24立即可以看出将物体（例如马）压入平面的这两种方法的区别。图24 将一个三维物体“压”入二维表面的错误方法和正确方法
通过类比，我们现在可以说，虽然不可能把一个四维物体完全“压”入三维空间，但可以讨论各种四维物体在我们这个三维空间中的“投影”。不过要记住，正如三维物体的平面投影是二维图形或平面图形，四维超物体在我们这个普通三维空间中的投影是立体图形。
为了把问题说得更清楚一些，我们先来考虑生活在面上的二维影子生物会如何构想一个三维立方体。不难想象，作为优越的三维生物，我们可以从上面即从第三个方向来打量二维世界。将立方体“压”入平面的唯一途径就是以图25所示的方法将它“投影”到那个平面上。旋转这个立方体，可以得到各种其他投影。通过观察这些投影，我们的二维朋友们至少能对这个被称为“三维立方体”的神秘形体的性质形成某种认识。他们无法“跳出”自己的面，像我们一样来看这个立方体。不过仅仅通过观察投影，他们也能说（比如）这个立方体有八个顶点和十二条边。现在看图26，你会发现自己的处境和那些只能看到普通立方体在面上投影的可怜的二维影子生物完全相同。事实上，图中那家人正在惊愕万分地研究的那个复杂的古怪结构，正是一个四维的超正方体在我们这个普通三维空间中的投影。[1]
认真考察这个形体，你很容易看到让图25中的影子生物困惑不已的那些特征：普通立方体在平面上的投影是两个正方形，一个套在另一个里面，且顶点与顶点相连；而超正方体在普通空间中的投影则是两个立方体，一个套在另一个里面，顶点也以类似的方式相连。数一数就会看到，一个超正方体共有16个顶点、32条边和24个面。好一个正方体，不是吗？
现在我们来看看四维球体是什么样子。为此，我们最好先看一个较为熟悉的例子，即一个普通球体在平面上的投影。例如设想将一个标记有大陆和海洋的透明球体投射到一面白墙之上（图27）。在这一投影中，两个半球当然会彼此重叠，而且从投影上看，我们也许会以为美国纽约和中国北京距离很近。但这只是一种表面的印象。事实上，投影上的每一点都代表实际球体上两个相对的点，一架从纽约飞往中国的飞机，它在球体上的投影将先移到平面投影的边缘，然后再返回来。虽然两架不同飞机在图上的投影可能会重叠，但如果它们“实际”在地球的两侧飞行，那是不会相撞的。
这些便是普通球体的平面投影的性质。只要对想象力稍作发挥，我们便不难看出四维超球体的空间投影是什么样子。正如普通球体的平面投影是两个（点对点）叠在一起、只沿外圆周相连的圆盘，超球体的空间投影也一定是两个彼此交叠且沿外表面相连的球体。关于这种特异的结构，我们已经在上一章作为类似于封闭球面的三维封闭空间的例子作了讨论。这里只需补充一句：四维球体的三维投影不过就是我们在那里讨论的由两个沿整个外皮长在一起的普通苹果所形成的双苹果罢了。
同样，使用这种类比法，我们也能回答关于四维形体性质的其他许多问题，尽管我们无论如何也没法在我们的物理空间中“想象”出第四个独立的方向。
不过，只要再稍作思考，你就会发现，根本没有必要把第四个方向看得很神秘。事实上，有一个我们几乎每天都在用的词可以表示物理世界中这第四个独立的方向，那就是“时间”。我们常常用时间和空间来描述周围发生的事件。谈到宇宙中发生的任何事情时，无论是在街上邂逅了一个朋友，还是遥远星体的爆发，我们通常不仅会说它在哪里发生，还会说它是何时发生的。于是，除了表示空间位置的三个方向要素之外，我们又增加了一个要素——时间。
如果作进一步思考，你还可能意识到，任何实际物体都有四个维度：三个空间维度，一个时间维度。比如你所住的房屋就是沿长、宽、高和时间延展的。时间的延展从盖房时算起，一直到它最后被烧毁、被某个拆迁公司拆掉或因年久失修而倒塌为止。
的确，时间方向与空间的三维很不相同。时间间隔是由钟表度量的：嘀嗒声表示秒，叮咚声表示小时，而空间间隔则是由尺子度量的。你能用同一把尺子来度量长、宽、高，却不能把尺子变成钟表来度量时间。此外，你在空间中可以前移、后移或上移，然后再回来，而在时间中你却退不回来，只能从过去到将来。不过，尽管时间方向与空间的三个方向之间存在着所有这些区别，我们仍然可以把时间作为物理世界的第四个方向，不过别忘了它与空间不大相同。
在选择时间作为第四维时，想象本章开头讨论的四维形体要简单得多。例如，你还记得四维正方体的投影所切出的那个奇特形体吗？它竟然有16个顶点、32条边和24个面！难怪图26中的那些人盯着这个几何怪物会瞠目结舌。
不过从我们的新观点来看，四维正方体只是个存在了一段时间的普通立方体罢了。假定你在5月7日用12根铁丝制成了一个立方体，一个月后又把它拆掉。那么，这样一个立方体的每一个顶点都应被看成沿时间方向有长为一个月的一条线。你可以给每个顶点挂一本小日历，每天翻一页以显示时间的前进。
现在很容易数出这个四维形体的边数。它刚开始存在时有12条空间边，以及描述各个顶点延续时间的8条“时间边”，结束存在时又有12条空间边，[2]因此总共有32条边。用类似的方法可以数出它有16个顶点：5月7日有8个空间顶点，6月7日又有8个空间顶点。作为练习，请读者以同样的方式数一数我们四维形体的面数。在此过程中要记住，其中一些面是原立方体的普通正方形面，其他面则是立方体原来的边从5月7日延伸到6月7日所形成的“半空间半时间”面。
我们这里针对四维立方体所讲的内容当然也适用于任何其他几何体或物体，无论是死的还是活的。
特别是，你可以设想自己是一个四维形体，类似于一根长长的橡胶棒从你出生之时延伸到你生命结束。不幸的是，我们在纸上画不出四维物体，因此在图29中，我们尝试以二维影子人为例来说明这种想法，他把与他所生活的二维平面垂直的空间方向认作时间方向。这幅图只描绘了这个影子人整个生命的很小一部分，整个生命过程需要用一根长得多的橡胶棒来表示：开端很细，此时他是婴儿，在很多年里一直变动不定，直到死时才获得恒定的形状（因为死人不会动），然后开始解体。
说得更确切一些，这根四维棒是由无数分离的纤维组成的，每根纤维都由分离的原子所组成。在整个生命过程中，大多数纤维保持成一束，只有少量纤维在理发或剪指甲时离去。由于原子是不灭的，所以人死后的身体分解实际上应被视为各个纤维朝四面八方分散开来（也许除了形成骨骼的那些纤维）。
用四维时空几何的语言来说，这样一条代表每一个物质微粒历史的线被称为它的“世界线”。同样，我们把形成一个复合体的一束世界线称为“世界束”。
图30给出了一个天文学的例子，显示了太阳、地球和彗星的世界线。[3]和前面那个例子一样，我们让时间轴与二维空间（地球轨道平面）垂直。在这幅图中，太阳的世界线由一条与时间轴平行的直线来表示，因为我们认为太阳是不动的。[4]地球的轨道非常接似于圆，地球的世界线是一条围绕太阳世界线盘旋的螺旋线，而彗星的世界线则先靠近、后远离太阳的世界线。
我们看到，从四维时空几何的角度来看，宇宙的地形学和历史融合成了一幅和谐画面。我们只需考虑一束代表个体原子、动物或星辰运动的缠结在一起的世界线就可以了。
二、时空等价
在把时间看成与三个空间维度多多少少等价的第四维时，我们碰到了一个非常困难的问题。度量长、宽、高时，我们可以用同一种单位，比如英寸或英尺。但时间长度既不能用英寸也不能用英尺来度量，我们必须使用完全不同的单位，比如分钟或小时。那么，它们如何比较呢？如果想象一个长宽高均为1英尺的四维正方体，它在时间上应当延伸多长才能使所有四个维度相等呢？是1秒、1小时，还是像上面那个例子中的1个月？1小时比1英尺更长还是更短？
初看起来，这个问题似乎毫无意义，但细想一下就会找到一个合理方法来比较长度和时间延续。我们常常听说，某人住在市区，“乘公共汽车需要20分钟”，某个地方“乘火车只需5小时即可到达”。这里，我们是通过乘坐某种交通工具所需的时间来指明距离的。
于是，如果可以就某种标准速度达成一致，我们就应当能用长度单位来表示时间间隔，反之亦然。当然，被选作空间与时间之间基本变换因子的标准速度必须同样基本和一般，无论人采取什么行动或者物理环境如何，都应保持不变。物理学中已知具有这种一般性的速度只有光在真空中传播的速度。虽然通常称这种速度为“光速”，但称之为“物理相互作用的传播速度”要更好，因为在物体之间起作用的任何种类的力，无论是电吸引力还是引力，都以相同的速度在真空中传播。此外，我们后面还会看到，光速是任何可能的物质速度的上限，任何物体都不可能以大于光速的速度穿过空间。
17世纪著名的意大利物理学家伽利略第一次尝试测量光速。一个漆黑的夜晚，他和助手带着两盏配有机械遮板的灯来到佛罗伦萨近郊的旷野，彼此相距几英里站定。伽利略在某一时刻打开灯，朝着助手的方向发出一束光（图31a）。助手已被告知，一看到伽利略那里发出的光就要打开自己的灯。既然光从伽利略到助手再返回伽利略都需要一定时间，所以从伽利略打开灯到看见来自助手的光线，也应有某个时间延迟。伽利略的确注意到了一个小的时间延迟，但是当他让助手站到两倍远的地方再重复这个实验时，观察到的延迟却没有增大。光显然走得太快了，走几英里的距离几乎不用什么时间。观察到的时间延迟其实缘于伽利略的助手不可能在看到光的一瞬间立即打开灯——我们今天称之为反应延迟。
虽然伽利略的实验没有导出任何正面结果，但他的另一项发现，即发现了木星的卫星，却为第一次实际测量光速提供了基础。1675年，丹麦天文学家罗默（Roemer）在观测木星卫星的食时，注意到这些卫星消失在木星阴影中的时间间隔并不总是相同，而是随着那一特殊时刻木星与地球之间的距离而变长或变短。罗默立刻意识到（你在考察图31b之后也会意识到），这种效应并非缘于木星的卫星运动不规则，而仅仅是由于木星与地球的距离变动导致我们看到这些食有不同的延迟。由他的观测结果可以得出，光速约为每秒185 000英里。难怪伽利略用他的设备测不出光速，因为光从他的灯传到助手再传回来只需十万分之几秒！
不过，伽利略用其粗糙的遮光灯做不到的事情，后来用更精密的物理仪器做到了。图31c是法国物理学家斐索（Fizeau）最先使用的以较短距离测量光速的设备，其主要部件是安在同一根轴上的两个齿轮。如果我们沿着与轴平行的方向看这两个齿轮，那么第一个齿轮的齿对着第二个齿轮的齿缝。于是，无论轴如何转动，沿着与轴平行的方向射出的细光束都无法穿过这套齿轮。现在假定这套齿轮系统高速旋转。由于透过第一个齿轮齿缝的光线需要一些时间才能到达第二个齿轮，所以如果在此期间这套齿轮系统恰好转过半个齿缝，那么这束光就能穿过第二个齿轮了。这里的情况非常类似于汽车以恰当的速度沿一条装有红绿灯同步系统的街道行驶。如果这套齿轮的转速提高一倍，那么光到达第二个齿轮时正好会射到转来的下一个齿上，光的行进将再次受阻。但如转速继续提高，光将再次能够穿过，因为光束到达之前这个齿已经转了过去，而下一个齿缝恰好会在这个时刻转来让光穿过去。因此，只要注意光的相继出现和消失所对应的转速，就能估算出光在两齿轮之间穿行的速度。为了方便实验并且减小所需的转速，我们可以让光在两齿轮之间多走些距离，这可以借助于图31c中所示的几面镜子来实现。在这个实验中，当齿轮以1000转每秒的速度旋转时，斐索第一次看到光穿过了距离自己最近那个齿轮的齿缝。这说明在此转速下，光从一个齿轮到达另一个齿轮时，齿轮的齿已经转过了半个齿距。由于每一个齿轮都有50个相同尺寸的齿，所以齿距为齿轮周长的1/100，光穿过这段距离的时间也就是齿轮转动一整圈所需时间的1/100。斐索将这些计算结果与光从一个齿轮传到另一个齿轮的距离联系起来，得到光速为300 000公里每秒或186 000英里每秒，它与罗默观测木星卫星所得到的结果几乎相同。
继这些先驱者的工作之后，人们又用天文学和物理学的方法做了大量独立测量。目前，光在真空中的速度（通常用字母c来表示）的最佳估计值是
c = 299 776公里／秒或186300英里／秒。
天文学距离非常巨大，如果用英里或公里来度量它们，可能要写满好几张纸，此时极高的光速就成了一个方便的度量标准。于是，天文学家会说某颗星星距离我们5“光年”远，就像我们说乘火车去某个地方需要5小时一样。由于1年有31 558 000秒，1光年就对应于31 558 000×299 776 = 9 460 000 000 000公里或5 879 000 000 000英里。用“光年”来度量距离，实际上已经把时间看成一个维度，把时间单位看成一种空间量度了。我们也可以把程序反过来，说“光英里”，意指光走1英里的距离所需的时间。使用上述光速值，我们得到1光英里等于0.000005 4秒。同样，“1光英尺”是0.000000 001 1秒。这便回答了我们在上一节所讨论的那个四维正方体的问题。如果该正方体的空间尺寸（space-dimensions）为1英尺×1英尺×1英尺，那么其空间持续（space-duration）仅为0.000 000 001 1秒。如果这个边长1英尺的正方体存在了一整月的时间，就应把它看成一根沿着时间轴的方向被拉得极长的四维棒。
三、四维距离
既已解决沿着空间轴和时间轴使用什么可比较的单位这个问题，我们现在可以问，应当如何理解四维时空世界中两点之间的距离？务必记住，现在每一个点都对应于通常所说的“一个事件”，即位置与时间的结合。为了讲清楚这一点，我们不妨看看以下两个事件：
事件1：1945年7月28日上午9点21分，位于纽约第五大道和五十街交叉口1楼的一家银行被劫。[5]
事件2：同一天上午9点36分，一架军用飞机在雾中撞在纽约三十四街在第五、六大道之间帝国大厦79楼的墙上（图32）。
（图中译名：银行、四维距离、七月；1楼、第五大道、五十街；79楼、第51/2大道、三十四街）
这两个事件在空间上南北相隔16个街区，东西相隔1/2个街区，上下相隔78层楼；在时间上相隔15分钟。显然，要想描述这两个事件的空间间隔，并不一定要记录下街道的数字和楼层数，因为借助于著名的毕达哥拉斯定理，即空间中两点之间的距离等于单个坐标距离的平方和的平方根，可以将它们结合成一个直接的距离（图32右下角）。而为了运用毕达哥拉斯定理，当然必须先用可比较的单位（例如英尺）将所有所涉距离表达出来。如果一个南北街区长200英尺，一个东西街区长800英尺，帝国大厦每个楼层的平均高度为12英尺，那么三个坐标距离就是南北方向3200英尺，东西方向400英尺，竖直方向936英尺。现在，运用毕达哥拉斯定理可以得出，两个地点之间的直接距离为
如果时间作为第四个坐标的概念有任何实际的有效性，我们现在应当能把两个事件的空间距离3360英尺与时间距离15分钟结合起来，用一个数来刻画这两个事件之间的四维距离。
按照爱因斯坦原来的想法，只需把毕达哥拉斯定理作简单的推广，便可实际确定这样一个四维距离。在确定各个事件之间的物理关系方面，此距离要比单个的空间时间间隔更为基本。
当然，要把空间和时间的数据结合起来，我们必须用可比较的单位将其表示出来，就像用英尺来表示街区长度和楼层高度一样。前已看到，用光速作为变换因子，便很容易做到这一点。于是，15分钟的时间间隔就成了800 000 000 000“光英尺”。现在，对毕达哥拉斯定理作简单的推广，我们便可把四维距离定义为所有四个坐标距离（即三个空间间隔和一个时间间隔）的平方和的平方根。然而在此过程中，我们完全取消了空间与时间的任何差别，这等于实际承认空间度量和时间度量可以相互转换。
然而，任何人都无法用布遮住一根尺子，挥动一下魔杖，念念“空间去，时间来，变”这样的咒语，就能把它变成一个闪闪发光的全新闹钟！甚至连伟大的爱因斯坦也不例外。（图33）
于是，若要在毕达哥拉斯公式中将时间与空间结合成一体，就必须采用某种不寻常的方法，以保留它们的一些自然差别。
根据爱因斯坦的看法，在推广的毕达哥拉斯定理的数学表达式中，可以通过在时间坐标的平方前使用负号来强调空间距离与时间延续之间的物理差别。这样一来，两个事件之间的四维距离就可以表示成三个空间坐标的平方和减去时间坐标的平方，然后开平方。当然，首先要用空间单位来表示时间坐标。
于是，银行遭劫与飞机撞击帝国大厦之间的四维距离应当这样来计算：
第四项之所以比前三项大得多，是因为这个例子来自“日常生活”，而以日常生活的标准来看，合理的时间单位的确太小了。如果不是以纽约市发生的两个事件，而是以宇宙中发生的一个事件作为例子，我们就能得到大小更为相当的数值了。例如，第一个事件是1946年7月1日上午9点整一颗原子弹在比基尼环礁爆炸，第二个事件是同一天上午9点10分一颗陨石落在火星表面，其时间间隔即为540 000 000 000光英尺，空间距离则约为650 000 000 000 英尺，两者大小相当。
在这个例子中，两个事件之间的四维距离是：
在数值上与纯空间距离和纯时间间隔都非常不同。
当然，有人也许会反对这样一种看似不合理的几何学，因为它对其中一个坐标的处理不同于其他三个坐标。但不要忘了，任何旨在描述物理世界的数学系统都必须符合事物；如果空间和时间在其四维结合中的表现的确有所不同，那么四维几何学的定律也必须有对应的样式。而且还有一种简单的数学补救办法，可以使爱因斯坦的时空几何学看起来与我们在学校里学习的古老而美好的欧几里得几何学完全一样。这种补救办法就是把第四个坐标看成纯虚数，它是德国数学家闵可夫斯基（Hermann Minkovskij）提出的。大家也许还记得，本书第二章讲过，一个普通的数乘以 就成了一个虚数，用这种虚数来解各种几何学问题是非常方便的。于是，根据闵可夫斯基的说法，要把时间看成第四个坐标，不仅要用空间单位来表示它，还要乘以。这样一来，那个例子中的四个坐标距离就成了：
第一坐标：3200英尺
第二坐标：400英尺
第三坐标：936英尺
第四坐标：8×1011i光英尺。
现在，我们也许可以把四维距离定义为所有四个坐标距离的平方和的平方根了。事实上，由于虚数的平方总是负的，所以用闵可夫斯基坐标写出的普通毕达哥拉斯公式将与用爱因斯坦坐标写出的似乎不太合理的公式在数学上等价。
有一个故事，说的是一位患风湿病的老人问自己的健康朋友是如何避免这种病的。
回答是：“我这辈子每天早上都会洗个冷水澡。”
“噢，”前者喊道，“那你是患了冷水澡病！”
于是，如果你不喜欢那个似乎会引起风湿病的毕达哥拉斯定理，你可以把它改成虚时间坐标这种冷水澡病。
由于时空世界里的第四个坐标是虚的，所以必须考虑两种在物理上不同的四维距离。
事实上，在前面讨论的纽约事件那样的情况下，两个事件之间的三维距离在数值上要小于时间间隔（用恰当的单位），毕达哥拉斯定理中根号下的数是负的，所以我们得到的推广的四维距离是虚的。而在其他一些情况下，时间延续要小于空间距离，因此根号下得到的是正数，这当然意味着在这些情况下，两个事件之间的四维距离是实的。
如上所述，既然空间距离被看成实的，而时间延续被看成纯虚的，我们也许可以说，实的四维距离与普通的空间距离关系更近，而虚的四维距离与时间间隔关系更近。根据闵可夫斯基使用的术语，前一种四维距离被称为类空（raumartig）间隔，后一种被称为类时（zeitartig）间隔。
我们将在下一章看到，类空间隔可以转变为正规的空间距离，类时间隔也可以转变为正规的时间间隔。然而，这两者一个为实数，一个为虚数，这给时空的相互转变造成了不可逾越的障碍，因此我们不可能把尺子变成时钟，也不可能把时钟变成尺子。
[1]更确切地说，图26给出的是一个四维的超正方体在我们三维空间中的投影在纸面上的投影。
[2]如果你不明白这一点，可以设想一个有四个顶点和四条边的正方形，垂直于其表面（沿第三个方向）将它移动边长那么长的距离，就又多出了四条边。
[3]严格而言，这里我们应当说“世界束”，但从天文学的角度来看，我们可以把恒星和行星看成点。
[4]实际上，太阳正相对于恒星移动，因此相对于恒星系统，太阳的世界线应当朝一侧有所偏向。
[5]如果这个交叉口真有一家银行，那纯属巧合。
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