荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者。30年代就享有盛誉，从50年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独特的观点。
第一节 关于现代数学特性的论述
弗赖登塔尔认为现代数学的特性可以归结为以下几个方面。
1．数学表示的再创造与形式化活动。如果认真分析一下近几十年来数学的变化，就会发现其变化主要是它的外表形式，而不是它的实质内容。这是一个自然演变的过程，在数学的各个领域内，逐渐渗透与发展了各种新知识与新词汇，最终汇成一个新潮流——形式化，这是组织现代数学的重要方法之一，也是现代数学的标志之一。
微积分的发展是一个例子，当牛顿、莱布尼兹开始引入微分、积分以及无穷小的时候，这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。根据某些实际需要，对它们进行各种描述，以及各种运算，经过了一段很长的历史，才逐渐形成了极限的概念，才有了 — 形式的定义，于是微积分才有严密、精确而又完整的外衣，也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系，这是对长期的非形式化运算过程进行形式化改造的结果。
形式化要求以语言为工具，按逻辑的规律，有意识地精确地表达严密的数学含义，不容许混淆，也不容许矛盾。换句话说，数学需要有自己特定的语言，严密、精确、完整而且相容。 随着数学抽象程度的提高，语言表达的严密性日益增强，甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。但这种数学语言的发展显然也不是绝对的，需要有个过程，这也就反映了数学有各种不同程度的形式化，在特定环境下，可以为特定的目的构造不同的形式化语言。
根据弗赖登塔尔的分析，我们认为现代社会的数学教育，当然不可能要求一下子飞跃到20世纪数学发展的最前沿，以形式化的现代数学内容，充塞于各种课程、教材之中。 因为教育必然有一定的滞后性，儿童、少年的生理、心理发展规律，也必须要求以直观的具体内容作为抽象形式的背景与基础，可是最终达到的目的也应该使学生理解现代数学这一以特定的数学语言表达的形式体系。当然这里有各种不同的要求，因而也要掌握不同层次的形式化，并且运用着不同水平的数学语言。
2．数学概念的建设方法，从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向实现公理系统的抽象化，承认隐含形式的定义，从而在现代科学方法论的道路上，迈开决定性的一步。
若是把康脱(Cantor)的集合论作为现代数学的开端，你就会看到建设概念的典范是通过“外延”来描述一个概念，即描述具有概念所反映的特性的对象全体，由此来了解并掌握这个概念。
随着现代数学的进展，人们感到通过“外延”的描述形成概念的方法，在不少情况下难以达到预定的目的。在更多的内容中，人们借助于具有这些特性的所有对象，从各种特殊情况中，描述它们的共性，阐述它们所必须满足的共有关系，解释它们所受的相关的约束、限制条件等等，从而抽象出一个更广泛、更一般的概念，这就是用公设或者是公理方法建立的概念。它的实质就是以隐含的方式描述了所要研究的对象，它并未明确指出概念的“外延”，但却已经规定了它必须满足的条件，这就是以隐含的形式作为定义，使现代数学跨上了更高水平的形式体系。
3．传统的数学领域之间的界限日趋消失，一贯奉为严密性典范的几何，表面上看来似乎已经丧失了昔日的地位，但实质上却正是几何直观在各个数学领域之间起着联络的作用。正如康德(Kant)所说：没有概念的直观是无用的，没有直观的概念是盲目的。
大多数现代数学的概念和问题，都有着一定的几何背景，有关问题的解决，也常常依赖于头脑中能否出现清晰的n维空间甚至无限维空间的直观形象，或是找到适当的几何解释，几何形象常常为问题解决提供途径。
多少年来数学课程的设置常在“分久必合，合久必分”的一对“分”“合”矛盾之间徘徊，算术、代数、几何、三角、微积分、…这一系列的学科，反映了数学发展史中各个不同阶段、不同侧面的情况，它们都有各自的特点与规律。结合学生的认知发展规律及教育教学规律来设计课程，不同时期侧重不同方面是完全应该的。但总的目标，即使分也不能一分到底，完全分家，总还应该将数学视为一个整体；当学生运用数学这个工具解决问题时，必须善于综合地应用代数、几何、三角、…等各种方法，应该使之互相渗透，互相结合，从中找出最佳的组合，而不是互相割裂，生搬硬套。
4．相对于传统数学中对算法数学的强调，应该认为现代数学更重视概念数学，或者说是思辨数学。
现代数学中开始现代化进程的主要标志——集合论、抽象代数和分析、拓扑等都是概念，思辨的喷发，它冲破了传统数学的僵化外壳，但是每个概念的革新，都包含着自身的算法萌芽，这是数学发展的道路。算法数学与思辨数学之间是一个相对的辩证关系，这并不等同于新与旧、高与低；概念数学果然体现了机械操作运算的突破，提高了理论的深度；而算法数学则意味着巩固，因为它提供了技术方法，可以探索更进一步的概念深度。
一个典型的例子，相同数量的一杯白酒与一杯红酒，取一匙白酒倒入红酒内，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒人白酒内，试问，白酒杯中所含的红酒多还是红酒杯中所含的白酒多?
通常的解法是：假设两酒杯容量均为a，一匙的容量为b,则第一次动作后，白酒杯中所含白酒量为a-b，第二次动作后，…，不少人会在计算过程中搁浅、碰壁。在解此题时，很少人会作这样的推理：两个杯子最终还是含有相同数量的酒，如果想象每个杯子中白酒和红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒就是红酒杯中所缺少的部分，而它的空缺现在正好被白酒所填补，这样就可以马上得出结论：白酒杯中所含红酒的量与红酒杯中所含白酒的量应该是一样多。这里的前一种解法是算法的，而后一种解法就是思辨的。
在数学发展的历史上，算法曾经发挥了极大的威力。韦达的代数，笛卡尔的解析几何，莱布尼兹的微积分，都是这方面的出色成果，算法数学确实有其迷人之处，通过算法的操作往往可以增加人们的自信与能力。数学发展的历史，当然也反映了沉迷于算法之中，会使人们的思想受到束缚与桎梏，必须跳出这个圈子，才能在数学的视野范围上有所拓广和深入；墨守成规地机械操作，必须随之以概念的革新，思维的组织，形成新的结构与新的体系。
如何根据算法的数学与思辨的数学这一辩证关系，来组织我们的数学教育，也是人们经常感到困惑的问题之一。其实，这个问题反映的就是知识与技能的关系，是强调概念和理解，还是强调运算和操作?我们的数学教育，应该在算法数学与思辨数学两方面，都给学生以足够的训练与培养，更重要的还在于，要使学生能够灵活地综合地运用于实践之中。
第三节 关于数学教学原则的设想
弗赖登塔尔认为，人类历史必然是一个前进的历史，只有突破了对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；科学是一种活动，科学不是教出来的，也不是学出来的，科学是靠研究钻出来的。
因而学校的教学必须由被动地学转为主动地获得，学生应该成为教师的合作者，通过自身的实践活动来主动获取知识。这样，教育的任务，首先就应当为青年创造机会，让他们充满信心，在自身活动的过程中，继承传统，学习科学，获得知识；另一方面，由于社会在不断前进，人们就必须不断学习。因此，教育中更重要的一个问题，并不是教的内容；而是如何掌握与操纵这些内容，换句话说，要让学生学会掌握方法，那是更根本的东西。
根据这些考虑，弗氏提出了下列几个数学教学的原则：
1．“数学现实”原则
数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实。这是弗赖登塔尔的基本出发点，也是我们历来提倡的基本思想。
确实，数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结。无论是数学的概念，还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成的。数学教育如果脱离了那些丰富多采而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本之木”。
另一方面，弗氏也认为数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学内在的联系，形成了自身独特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系。因此，数学教育又应该给予学生数学的整个体系——充满着各种各样内在联系与外部关系的整体结构。
弗氏的另一个基本主张是：数学应该是属于所有人的，我们必须将数学教给所有人。实际上，对于少数数学家来说，抽象的形式体系，严密的逻辑结构，以及涉及内在联系的规律，也许是最为本质、最为完美也是最感兴趣的东西。可是对于大多数人而言，掌握数学与外部世界的密切关系，从而获得适应于当前社会的生存与生活，并进而能够改革社会促使其进一步发展，将是更为重要的。
为此，弗赖登塔尔坚持主张，数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即“现实的数学”。如果过于强调数学的抽象形式，忽视了生动的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，割断与外部现实的密切关系，那必然会给数学教育带来极大的损害。
数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的人对数学的不同水平的需要。数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，从而使每个人能够拥有适合于他们所从事的不同专业所必需的数学知识，使其能顺利地处理有关的各种数学问题。为此，弗赖登塔尔的一个基本结论是：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算方法、运算规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。
数学教育的任务就在于，随着学生所接触到的客观世界的广泛程度，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。通过这样的过程，数学教育将随着不断地扩展的现实发展，同时数学教育本身又促使了现实的扩展，正象数学与现实世界的辩证关系一样，数学教育也应该符合这样的规律。
2．“数学化”原则
弗赖登塔尔的名言：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”；与其说是学习公理系统，还不如说是学习“公理化”；与其说是学习形式体系，还不如说是学习“形式化”。
他认为：人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。
数学的产生与发展本身就是一个数学化的过程，人们从手指或石块的集合形成数的概念，从测量、绘画形成图形的概念，这是数学化。数学家从具体的置换群与几何变换群抽象出群的一般概念，这也是数学化。
数学教育应该尊重数学的传统，要按照历史的本来面目，根据数学的发展规律来进行。当儿童通过模仿学会计数时，当他们把两组具体对象的集合放在一起而引出加法规律时，这实质上是历史上现实世界数学化过程的再现，我们当然没有必要也没有可能将数学教育变成历史发展过程的机械重复，但确实必须也可以从中获得很好的借鉴。
事实证明，只有将数学与它有关的现实世界背景密切联系在一起，也就是说只有通过“数学化”的途径来进行数学教育，才能使学生真正获得充满着关系的、富有生命力的数学知识，使他们不仅理解这些知识，而且能够应用。
前已指出：每个人都有不同的数学现实世界，因此数学化有不同的层次。
首先，现实世界自始至终贯串在数学化之中，我们常把由现实世界直接形成数学概念的过程称为“概念性的数学化”。它往往随着不同的认知水平而逐渐得到提高；与此同时，对这个概念的形成过程进行反思，作更为抽象与形式的加工，再将它用来解决现实世界的问题；通过现实世界的调节作用，而使数学化得到进一步的发展与演化，而由此形成的新的方法手段又能再用于组织更高一层的现实世界，并产生新的数学概念。
其次，反思是数学化过程中的一种重要活动，它是数学活动的核心和动力。数学的不少发现来自于直觉，而分析直觉并将其数学化必须让学生学会反思，对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实，以便有意识地了解自身行为后面潜藏的实质，只有这样的数学教育——以反思为核心——才能使学生真正深入到数学化过程之中，也才能真正抓住数学思维的内在实质。
现代化数学往往借助数学方法来为各种错综复杂的现象构造相应的数学模型，这当然是一种数学化，作为数学教师谁都不会满足于将各种现成的数学模型，硬灌给学生，去塞满学生的脑袋；人们希望的是学生自己会运用数学知识来为具体问题建造新的数学模型，应该说，数学教育的目标就在于使学生学会“数学化”。
以下我们来具体地论述两种常见的“数学化”过程：公理化和形式化。
人们在长期的实践中，将直观朴素的各种几何命题加以组织、整理、加工，形成欧几里德公理体系，这一通常称为公理化的过程，也是一种数学化。近年来数学发展的重要特征之一，就是公理化思想广泛地渗入各个数学领域。我们的数学教育自然不能停留在让学生的头脑成为形形色色公理系的仓库，更重要的任务是必须教会学生能运用自己的数学思维，对一个数学领域进行加工、整理，从而独立地建立起一个公理体系来。也就是说，必须让学生学会公理化。
如果说公理系统是通过公理化的方法重新组织数学内容的结果，那么作为数学抽象性的特点之一的形式体系就是通过形式化的方法重新组织数学语言的表达，从而建立起来的结构。这种形式体系化，或简称形式化，又是另一种数学化。数学内容的特殊本质决定了对数学语言的特殊要求，从日常语言中逐渐独立出来，引进特定的数学术语来表达数学的活动与思想。所有这些都是数学的形式化过程的逐步提高与发展，在此过程中数学科学也进到了一个更高的阶段。在数学教育中，并不是要学生背诵那些形式体系，而应使学生学会形式化，学会用正确的数学语言来组织并表达数学的现实内容及内在联系。
近年来，关于数学化的思想正在不断地进行深入的研究，根据Treffers和Goffree的提法，数学化还可以分解为水平的和垂直的两种成分。
如果是从具体的客观现象中找出数学的特性，或者通过不同的方式将同一个问题形式化或直观化，或是在不同的问题中识别其同构的本质，以及将一个现实问题转化为数学问题或已知的数学模型等，这些方面都可以理解为同一问题在水平方向的扩展，因而是属于数学化的水平成分。
而如果是将某个关系形成为一个公式，或是证明一个定律，或是对同一问题采用不同的模型或对模型进行加强、调整与完善，以至形成一个新的数学概念，或是由特殊情况经过推广从而建立起一般化的理论等，这些方面就应该看作是某一问题在垂直方向的深入，因而不妨归诸于数学化的垂直成分。
回顾历史上最早的传统数学教育，其做法就是机械的途径，教师将各种结论灌输下去，学生被动地接受这些结果，死记硬背，机械模仿，不知道它的来龙去脉，所获得的只是知识的形式堆砌，既不考虑它有什么用处，也不问它互相之间是否有内在联系，可以说很少包含数学化的成分。以后逐渐有所进步，比较多地考虑到实际的经验，也建立了不少现实的模型，从而进入了经验的途径，即较多地顾及水平的数学化，使所获得的数学知识具有一定的实用价值，可以解决一些客观现实中的问题。从历史的经验教训，我们应该得出这样的结论，那就是：数学教育的正确途径应该是现实的数学化途径，我们所需要的课程体系应该全面而完善地体现数学化的正确发展，既要强调现实基础，又要重视逻辑思维，既要密切注意数学的外部关系，也要充分体现数学的内在联系，要能将这两者有机地结合在一起，那才是数学教育所必须遵循的正确路线。
用上述观点分析我国的数学教育现状，实质上走的是“形式化”、“严谨化”的路子，忽视“现实应用”，否认“数学化”过程，以逻辑演绎和形式计算为最终目标，这种数学教育思想当然是不足取的，弗赖登塔尔的“数学化”原则应该为我们所借鉴。
首先，弗氏所说的“数学化”，是数学抽象发展与现实世界的紧密结合。它可以描述来自具体问题的数学模型建立过程，也可以反映一组数学概念的进一步抽象化过程；按照这样的原则进行数学教学，使学生在直观与抽象的结合过程中，提高数学知识水平，掌握数学技能与方法，这种知识、技能的获得，是在学生自己不断的观察、比较、归纳的实践经历过程中形成的。
其次，“数学化”有着各种不同的水平，这实质上是从更科学的角度，在对学生的数学知识、技能作了分析以后所得出的结论，这就要求我们在数学教学过程中，不是笼统地提“学生实际”，而要能确切地针对学生所处的不同“数学化”水平，在此基础上作进一步的提高，这样的教学必然是对症下药，也能找出更合适的共同语言，而不至于“无的放矢”。
3．“再创造”原则
弗氏认为：数学实质上是人们常识的系统化，每个学生都可能在一定的指导下，通过自己的实践来获得这些知识。所以我们应遵循这样的原则，那就是数学教育必须以“再创造”的方式来进行。事实证明，只有通过这样的方式才能获得最好的效果。
数学与其他科学有着不同的特点，它是最容易创造的一种科学，3十2＝5，矩形的面积等于长乘宽，类似这些简单而又直观的数学事实，都可以让学生通过自己的学习过程来得到。也就是说，教师不必将各种规则、定律灌输给学生，而是应该创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在实践的过程中，自己“再创造”出各种运算法则，或是发现有关的各种定律。
每个人都应该在学习数学的过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。当然这并非要我们再去机械地重夏历史，但是新的一代也不可能恰好从前人所终止的那一点上继续下去，也就是说，从某种意义上我们还是应当重复数学创造的历史，假定我们的祖先在掌握了现有的知识后会怎么做——可能发生的历史。
数学家从不按照他们发现、创造的真实过程来介绍他们的工作，实际上经过艰苦曲折的思维推理获得的结论，常以“显然”二字一笔带过。教科书更是常将通过分析法所得的结论采取综合法的形式来叙述，也就是说文字表达思维过程与实际获得的发现过程完全相反，因而严重阻塞了“再创造”的通道。
数学确实是一门演绎科学，它的一个特征是严谨的逻辑推理和高度的抽象化。数学教育的目标之一也应该让学生掌握一个不同水平的形式体系，问题是通过怎样的方式才能达到这一目标?传统的方法就是将数学当作是一个已经完成的现成的形式理论，教师从定义出发，介绍它的符号、表达方式，再讨论一系列性质，从而得出各种规则、算法。教师的任务是举例、讲解，学生的任务则是模仿，唯一留给学生活动的机会就是解题——所谓“应用”。实际上、真正的数学家从来也不是以这样的方式来学习数学的，他们常常凭借数学的直觉思维，做出各种猜想，然后再加以证实(直到今天，还有许多猜想等待人们去检验或推翻)。那些符号、定义都是思维活动的结果，为了知识系统化或是交流的需要而引进。如果给学生提供同样的条件，不仅是性质、规则，甚至定义也都可以包括在学生能够重新创造的范围以内。
日常生活中，象“狗”、“椅子”等概念，都不需要事先给以严格的定义，儿童通过实际接触，自然地形成了概念。数学中的一些东西，同样来自现实，也可以通过学生的实际感受而形成概念。以学习平行四边形概念为例，教师可以出示一系列的平行四边形的图形或是实际例子，告诉学生这些就是“平行四边形”，让学生自己进行比较、分析、研究，在经过反复的观察与思考后，他们就会发现“平行四边形”的许多共同性质，接着就会进而发现这些性质之间的联系，在教师的引导与学生间相互讨论的基础上，学生就不仅掌握了平行四边形的概念，同时也理解了形式定义的含义以及各种相关性与等价定义的概念，也就是说，学生通过自己的实践活动学会了怎样定义一个数学的概念，对于定义的必要性与作用都会有更深的体会，通过这样的“再创造”方式进行的概念教学，显然比将一个现成的定义强加给学生要有效得多。
当然，每个人有不同的“数学现实”，每个人也可能处于不同的思维水平，因而不同的人可以追求并达到不同的水平。一般说来，对于学生的各种独特的解法，甚至不着边际的想法都不应该加以阻挠，要让他们充分发展，充分享有“再创造”的自由，甚至可以自己编造问题，自己寻找解法，一句话，应该让学生走自己的道路。教师的作用，应该在适当的时机引导学生加强反思，巩固已经获得的知识，以提高学生的思维水平，尤其必须有意识地启发，使学生的“创造”活动逐步由不自觉或无目的状态，发展为有意识有目的的创造活动，以便促使每个人都能达到不同的发展。
夸美纽斯有一句名言：“教一个活动的最好方法是演示。”他主张要打开学生的各种感觉器官，那就不仅是被动地通过语言依赖听觉来吸收知识，也包括眼睛看甚至手的触摸及动作。弗赖登塔尔将这一思想发展为“学一个活动的最好方法是实践”，这样提法的目的是将强调的重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动，并且从感觉的效应转为运动的效应。就象游泳本身也有理论，学游泳的人也需要观摩教练的示范动作，但更重要的是他必须下水去实地练习，老是站在陆地上是永远也学不会游泳的。
我们主张“再创造”应该是数学教育的一个教学原则，它应该贯串于数学教育整个体系之中。实现这个方式的前提，就是要把数学教育作为一个活动过程来加以分析，在这整个活动过程中，学生应该始终处于一种积极、创造的状态，要参与这个活动，感觉到创造的需要，于是才有可能进行“再创造”。教师的任务就是为学生提供自由广阔的天地，听任各种不同思维、不同方法自由发展，决不可对内容作任何限制，更不应对其发现作任何预置的“圈套”。
4．“严谨性”原则
弗赖登塔尔指出，数学与其他的思维训练相比而言，有个最大的优点，就是“确定性”，对每个命题你可以判断它的对或错，其他科学就不是如此，常常依赖于有关的现实情况，涉及到所适用的范围，所选定的标准，只有数学可以强加上一个有力的演绎结构，由此可以确定结果是否正确，或是结果能否找到，这就是所谓数学的严谨性，是数学的度量标准，也是数学教学必须遵循的原则。
弗赖登塔尔提出严谨性是相对的，对于严谨性的评价，必须根据具体的时代、具体的问题来做出判断。譬如说微积分，人们开始直观地用无穷小概念运算，工作很出色，以后人们相信，必须用 — 才能保证其严密性，可是现在 — 又失去了地盘，因为又有了现代化的微分算法；再如，半个世纪以前，人们认为自然数、整数、有理数和实数，就构成了严密的数论基础，可是今天，却必须从公理化的定义出发，认为除了公理化体系以外，就没有严密的数学。
严谨性有不同的级别，每个题材有适合于它的严谨性级别，数学家应该根据不同的严谨性级别进行操作，而学生也应通过这些不同级别的学习，来理解并获得自己的严谨性，在学生尚未理解之时，是无法将所谓严密的数学理论强加给学生的，学生只有通过再创造来学习数学的严谨性。就象6岁的儿童用手指计算8+5，在这个年龄，这也许就是一个严密的证明；当人长大时，按严谨性要求，将8+5分解为8+2+3，因为这时的加法表只用于a+b=c（其中1≤a<10，1≤b<10,2≤c≤10）,再迟一点，也许就不必再分解，直接得到8+5=13也就是严密的，因为加法表已经可以用于a+b=c（其中1≤a≤10，1≤b<10,2≤c≤20）。
对于“严谨性”原则的贯彻，需要特别注意，应该根据不同的阶段，不同的教学目的，提出不同的“严谨性”要求，不存在绝对的“严谨性”，只有在某个具体阶段，结合具体数学题材，根据学生实际水平，规定具体的“严谨性”。
“严谨性”要求的规定，应该根据学生的特定的“数学现实”，又应该在“再创造”的过程中，来理解并获得这种“严谨性”，这样才能保证我们的数学教育过程会在“数学化”的正确轨道上前进。总之，数学教学原则并非孤立、分散，各自为政，它们之间有着密切联系，在具体的执行过程中，也应该从整体的、联系的观点着眼，才能使之发挥更大的作用，取得数学教学的成功。
