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四条路径：
课堂、素材、呈现方式、问题解决
一、试题在内容上突出数学本质，回归课堂教学
北京卷试题内容紧扣课标和教材，体现数学的本质，不出偏难怪题。选择题、填空题主要考查教材和课标中的基础知识和方法。第16题是正弦定理、余弦定理应用的问题，第17题是立体几何的位置关系与角度问题，第19题是函数与导数中的切线、单调性与最值问题，第20题是直线与椭圆的位置关系问题，这四道题所考查的都是高中的主干知识，使用的方法是通性通法。这种考查方式，有利于减少死记硬背和机械刷题的现象，切实减轻学生的学习负担。
试题符合学生的认知规律以及学生的实际，在问题设计时，通过层层递进，为学生的思考搭建台阶。如第12题和第13题都设置两空，第一空为第二空适当做铺垫。第21题第（Ⅰ）问，只要能够正确理解题意，大部分学生能够完成；第（Ⅱ）问要把抽象的性质转化成具体的数值，部分学生能够完成；第（Ⅲ）问对学生的数学素养提出较高要求。因此，该题的层层设问，为不同水平的学生搭建了施展才华的舞台。
二、试题在素材选取上，源于现实世界和学生生活
北京卷在试题素材的选取上，真实、自然、合理，突出对学习能力的考查。如第6题的党旗五种通用规格，融入建党百年主题教育的素材；第8题的24小时的降雨量及其所属等级；第18题的“10合1”与“5合1”新冠病毒核酸检测方法，把伟大抗疫精神等作为立德树人的重要载体，体现数学的应用价值。
三、试题在呈现方式上，增强试题的选择性和开放性
北京卷采用多种方式，对试题的形式进行动态调整和适度创新，增强试题的选择性和开放性。在题型上进行了创新，设计条件或结论开放、解题方法多样、答案不唯一的试题。如第14题，要求学生根据一点和其关于y轴对称的点，给出q 的一个取值，试题答案不唯一。学生需要根据已有的信息，理解三角函数的概念，并用旋转的思想和y轴对称的特征解决问题。该问题考查学生思维的灵活性和多样性。
与2020年试题相比，2021年的第16题是结构不良问题，在考查学生的选择性方面又前进了一步，增加了一个不符合要求的条件，需要学生进行判断和选择。题目要求学生在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，其中条件①与已知题设矛盾。条件②与条件③分别给出三角形的周长与面积，两问设置具有层次性，题目求解方法多样，考查学生对于基础知识的理解和运用能力。
北京卷在命题技术和评分量表上进行持续探索，以提升命题的质量。如第15题设计分层赋分试题。这种设计有利于保障试题的区分和考查效果。
四、试题凸显对问题解决能力的考查，为学生的可持续发展打下基础
北京卷的命题，不仅体现人才的选拔功能，还注重价值引领，凸显对问题解决能力的考查，引导学生去探索，应用数学知识去解决职场与生活中的实际问题。
如第18题，紧密联系社会重大问题，具有拓展性。是不是“10合1”总比“5合1”的效率高？在大规模检测中是不是可以提出更高效的“k合1”方法，比如“100合1”？诸如此类的问题会引发学生持续的探索和研究，从而发展他们的发现与提出问题能力。
第21题以数列为载体，考查归纳概括、分类讨论等数学思想方法，考查数学抽象、逻辑推理等数学素养，有助于引导学生问题解决能力的发展，从而由做题到做事，为未来进一步学习奠定良好基础。
2021年是新高考改革的第二年，北京卷继续保持“入口易、口径宽，深入缓、出口难”的特点，坚持“立德树人，服务选拔和引导教学”的命题指导原则，稳中求进，形成了“一个中心，两个维度，六大素养，四条路径”的评价体系，围绕着强化中心，丰富维度内涵，突出素养，优化路径，促进中学对“四具备”人才的培养，引导教学在“六个方面”下功夫，助力学生德智体美劳全面发展。
数学试卷试题分析
2021年高考北京数学试卷整体上符合国家课程标准要求，结合北京市高中数学教学现状，知识要素覆盖全面，数学素养考查突出。
相比于去年，数学试题在试卷结构、考试内容和难度上保持一致。题型依然是选择题、填空题和解答题，每一部分题型的难度预设基本符合从易到难的分布。
试题的表述形式简洁、规范，图文准确并相互匹配，呈现方式及作答方式坚持多样化，延续了北京数学试卷“大气、平和”的特点。命题的总体稳定有利于考生稳定心态，正常发挥，考出自己的数学真实水平。
No.1 文化浸润，立德树人
试卷第（6）题，以中国共产党党旗的图案和规格为背景考查数列知识，体现了《深化新时代教育评价改革总体方案》的要求，着眼于传承红色基因，引导学生关注党的知识和历史。
第（16）题是以常规三角函数为背景的题目，改变相对固化的试题形式，设计学生自主选择已知条件的任务，增强了试题的开放性，有助于减少死记硬背和“机械刷题”现象，有助于减轻学生过重的学习负担。
第（8）题，设计了收集雨水的应用性题目，将环境保护教育、生态文明等主题教育与数学测试试题有机结合，引导学生树立尊重自然、顺应自然、保护自然的发展理念，展现了数学的教育价值，贯彻了《中小学德育工作指南》。
No.2 稳中有变，适度创新
相比去年，数学试题在保持整体稳定的基础上，又体现了适度创新。例如将结构不良问题放在了解答题第一题，虽然难度不大，但与去年不同的是所给三个条件中，有一个是不成立的，而另外两组成立的条件在解法上也有所不同，为学生展现数学思维能力搭建了平台。
再如第（3）题，考查了常用逻辑用语的必要条件、充分条件、充要条件的内容，与去年试题相比，位置相对提前，但降低了考查的难度，更加凸显了考查考生对相关概念的理解和掌握。命题的适度创新，增强了试题的灵活性，为引导教学、防止题型固化、命题方式固化起到了积极的作用，也有利于对学生能力素养的考查。
No.3 重视基础，突出主干
在考查数学的“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）中，突出数学学科特色，着重考查学生的理性思维能力，发挥数学作为基础学科的作用，重视考查中学数学基础知识和方法的掌握程度，重点考查主干知识与内容。
例如，选择题的前5道题和填空题前3道题，涉及内容都是基础知识和基本方法，考查了集合、复数、充要条件、三视图、双曲线的性质、二项式定理、抛物线的性质、平面向量等内容。在试题设计上，这些试题涉及的知识点相对单一、思维相对简单，易于解答。
在此基础上，试卷对主干内容重点考查，体现了对数学知识考查的全面性、基础性和综合性，6道解答题中重点考查了解三角形及立体几何、概率统计、导数、直线与圆锥曲线、数列综合等主干内容。解答题的前2道题，题干简洁表述清晰，集中考查了解三角形和立体几何的主干知识及核心概念。
No.4 强调本质，考查素养
试卷突出体现数学学科素养，在关注考生未来发展的同时，以能力立意，强调对数学方法和数学本质的考查。
如：选择题第（6）题和第（8）题考查学生运用所学知识分析、解决问题的能力，体现数学建模素养；第（20）题考查了解析几何中的主要方法，需要学生具备一定的数学运算核心素养和解决问题；第（15）题考查推理判断能力与灵活运用知识的综合能力。
第（21）题以数列为载体，考查归纳概括、分类讨论等数学思想方法，考查学生对新概念的理解，考查学生获取新知识的能力和对新问题的理解探究能力。
第（4）题求四面体的表面积需要学生能根据三视图作出直观图进行求解，考查直观想象素养；第(17)题以正方体为载体考查直线与平面平行的性质及二面角的相关知识，考查逻辑推理和运算素养。第（13）题，考查的是向量的运算。基于向量具有几何和代数双重特征，本题既可以用坐标计算，也可以借助几何直观解决。
No.5 突出数学应用，体现数学价值
试卷中设置以源于社会实际和学生真实生活的情境，引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值、美学价值。
例如第（6）题中，5种规格中国共产党党旗的长与宽的比值都相等，近似于黄金分割，体现出党旗与数学之美的结合。第（8）题以学生综合实践活动切入，通过计算圆锥形量雨器内雨水的体积，求出降雨量，既提供了学习生活中解决现实问题的事例，又考查了学生分析和解决问题的能力。
再例如第（18）题以当前我国常用的大规模核酸检测“k合1”方案为情境，求解检验次数，研究分布列和期望，尤其是对“10和1”与“5合1”两个方案的对比，感受方案选择与感染人数的关系，既考查了学生概率统计的知识和思想方法，也体现了数学模型在解决现实问题时的优化作用。
纵观整份试卷，保持了北京试卷综合、灵活的特色，稳中求变。
在突出基本知识、基本技能和基本思想方法考查的同时，突出考查学生的数学素养，展现数学的应用价值及学科育人价值，给不同能力水平的学生提供了展示的平台，对数学教学起到了积极的引导作用。
点评专家：
北京市东城区教师研修中心
高级教师 张许合
北京市朝阳区教育研究中心
正高级教师 王文英
北京教育科学研究院
高级教师 黄炜
北京教育科学研究院
高级教师 李青霞
北京教育科学研究院
高级教师 康杰
