杨辉三角背后的数学秘密
杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形、巴斯卡三角形。
是二项式系数的一种写法，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《详解九章算术》得名，书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算术》，故又名贾宪三角形。在这个三角形中有很多奇妙的性质, 比如隐藏着谢尔宾斯基三角形(如上图)以及, 请看下面这个链接中 4 分钟的趣味动画.
为什么有人游完泳会眼红？用对数来解释原因
在数学中，对数是幂运算的逆运算。一般认为对数于 16 世纪末至 17 世纪初期间由苏格兰数学家约翰·纳皮尔男爵和瑞士工程师约斯特·比尔吉发明。纳皮尔是一位苏格兰贵族，对数值的计算有很深的研究。为了找到简化球面三角计算的方法，他也产生了发展对数的想法。1614 年，他在自己的书籍《奇妙的对数表的描述》上发布了自己的对数表。纳皮尔发明的纳皮尔算筹用加减法代替了乘除法，成功简化了乘除法的运算，他的对数被后人称为纳皮尔对数，记法为 Nap·logx。
对数对科学的进步有所贡献，特别是对天文学，使某些繁难的计算成为可能。在计算器和计算机发明之前，它持久的用于测量、航海、和其他实用数学分支中。下面视频中提到为什么有的人游泳完会眼红？其中就借助对数来解释中间的原理。
以曲面与拓朴的角度来看宇宙的形状
我们生活的空间到底是什么样的呢？它是平坦的还是有弯曲的？科学家告诉我们空间看上去确实是平坦的，误差在 0.4%以内。他们通过两种不同的计算方法得出的结果是空间的曲率很接近零。
折纸几次可以到到月球？
一张薄薄的纸，假设其厚度是 0.001 厘米，假设能够一直折叠下去，要折叠几次才会带着我们直达月球？
其实让人惊讶的是，并不需要折太多次。观察折纸的过程，我们可以看到指数型成长那令人不可置信的潜力。看完下面视频会让你想要找一张纸，然后试试看能折多少次！当然你也可以计算下到达太阳需要折几次呢？
小心统计数据, 它也能误导我们
当人们尝试探究两种变量（比如新生录取率与性别）是否具有相关性的时候，会分别对之进行分组研究。然而，在分组比较中都占优势的一方，在总评中有时反而是失势的一方。该现象于 20 世纪初就有人讨论，但一直到 1951 年，E.H.辛普森在他发表的论文中阐述此一现象后，该现象才算正式被描述解释。后来就以他的名字命名此悖论，即辛普森悖论。
阿基米德浮力定律背后的故事
尤里卡(Eureka)表示为发现某物真相是的感慨, 这个词来自那个著名的阿基米德. 相传阿基米德发现浮力定律的场景是, 正准备在浴缸里坐下，看到溢出的热水，突然灵光乍现、豁然开朗时兴奋欢呼, 不禁赤身裸体就跑了出来, 边跑还边喊: "尤里卡, 尤里卡!".
但是其实真实的故事并非如此。下面视频中讲述阿基米德最伟大的工程 -- 一个国王命令他完成的巨大漂浮的海上宫殿 -- 才让他找到真正的"eureka"。
将拓扑学概念应用到物理学
2016 年诺贝尔物理学奖揭晓，三位英美科学家 David J. Thouless， F. Duncan M. Haldane，J. Michael Kosterlitz 获奖。获奖理由是“理论发现拓扑相变和拓扑相物质”。
这三位科学家大胆地将拓扑学概念应用到物理学，对他们后来的发现起到了决定性作用。拓扑学是数学的一个分支，主要研究空间内，在连续变化（如拉伸或弯曲，但不包括撕开或黏合）下维持不变的性质。在拓扑学里，重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。
伊斯兰建筑背后的复杂几何学
常常可以在清真寺及穆斯林房屋墙壁的装饰上看到的伊斯兰艺术的元素，其中的阿拉伯式花纹通过对几何图案的重复形成了精美的图案。
伊斯兰建筑艺术中的几何设计通常建立在重复的正方形和圆形的组合上，这些正方形和圆形可以重叠和交错，就像蔓藤花纹（通常与它们经常组合）一样，形成错综复杂的图案，包括各种镶嵌图案。
欧几里得《几何原本》中迷一样的平行公理
欧几里得是大家所熟知的‘几何学之父’。他发展了许多现代几何学之中最久经考验的定理——但我们要如何理解他神秘的第五条公理，也就是平行公理呢？Jeff Dekofsky 告诉了我们数学家是如何验证这个公理的正确性，并使人们在对数学原理的理解上提出了更大的问题。
为什么人们对数学会很焦虑？
数学焦虑症(Mathematical anxiety)是一种情绪上强烈的焦虑 - 担心没有理解好或不能解出来数学问题的一种心理状态. 承受这样的煎熬但并不意味着智力上的缺陷, 如两位获得数学界诺贝尔奖 - 奖菲尔兹奖的两位数学家, 在中学阶段都曾有遭受过数学焦虑症的折磨.
那什么导致了这种焦虑的出现? 有哪些基本方法来克服它呢?
柯尼斯堡七桥问题是如何改变数学的
柯尼斯堡七桥问题(又称哥尼斯堡, Seven Bridges of Königsberg)是数学历史上一个的著名问题。这个问题发生在18世纪东普鲁士柯尼斯堡（现在为俄罗斯的加里宁格勒）普列戈利亚河两岸，当时河中心有两个岛，岛与河的两岸有七条桥连接(如下图)。
▲ 哥尼斯堡七桥问题(图自维基)
问题是：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。
这个难题最后还是由欧拉解决，他将其转化为一个几何问题，通过对桥和陆地的连接点进行计数，证明了该走法并不存在。由此也开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑，展开了数学史上的另一篇章。具体请见下面动画：
杠杆背后的数学原理
古希腊最伟大的科学家阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬动地球。”这其实就是物理学中的杠杆原理(又称杠杆平衡原理)。
▲ 1824年，在伦敦发行的《机械杂志》内的一副刻画就描述了上面阿基米德这句名言
杠杆原理：当杠杆静力平衡时，其动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂，可以透过改变动力臂或阻力臂长度，使输入力放大或缩小。在保卫西拉斯鸠时候，阿基米德就将杠杆原理应用这场战争，他设计的投石机让罗马军队落败。在我们日常生活中这个原理又有哪些应用呢？请看下面短片：
证明勾股定理的多种方法
勾股定理(又称毕达哥拉斯定理)，是每个刚开始学几何的学生都会接触的平面几何定理，也是人类最早发现的重要数学定理之一。
这个公式描述了对于任何直角三角形，斜边长度的平方c（直角三角形的最长边）如何等于其他两条边（a和b）长度的平方和。因此，a²+b²=c²。
▲ 左图为三国时期赵爽为证明勾股定理作的“弦图”
勾股定理现有四百种方式来证明的方法，也是数学定理中证明方法最多的定理之一，你是不是也想尝试一下呢?
为什么零不能作除数?
在数学世界里，当我们改变规则时，许多奇怪的结果都是有可能产生的。但有一条规则我们被劝告过不要去打破它，即，不要把 0 当除数去除。日常数字和基本运算结合起来怎么就产生了这些问题呢？请看下面 4 分钟短动画.
梵高《星空》背后让人意想不到的数学奥秘
物理学家维尔纳·海森堡曾说：“如果我见到上帝，我要问他两个问题：为什么创造相对论？为什么创造湍流？我相信他对前者有个解释。“因为用数学去解释湍流很困难，所以我们可以用艺术描绘它的样子。娜塔莉亚·圣克莱将告诉我们梵高是如何在他的作品里捕捉这光影流动的奥秘。
达芬奇经典名画后的人体数学
列奥纳多·达·芬奇是意大利文艺复兴时期代表人物，他在绘画、音乐、建筑、数学、几何学众多领域都有重要的成就。作为历史上最著名的艺术家之一，他与米开朗基罗和拉斐尔并称文艺复兴三杰。
▲ 达芬奇自画像与他关于人体比例的作品──《维特鲁威人》
他认为绘画就是一门科学, 其基础就是数学，曾说过：“在科学里，凡是跟数学没有联系的地方都是不可靠的”。下面 4 分钟动画从达芬奇的人体素描出发，延伸到化圆为方的数学问题。
探索其他的维度
想象在一个二维世界——你，你的朋友，所有一切都是 2D 的。这就是 Edwin Abbott 在他的 1884 部中篇小说中所描述的一个世界，称之为平面国。现在 Alex Rosenthal 和 George Zaidan 以此为前提制作了下面动画，让考虑我们如何看待不同于自己所在的维度，以及值得探索的原因。
你能用手指数多大的数呢?
用自己的手指，你可以数到多少呢？这好似是一个十分明显的问题。说到底，我们其中的大多数人只有 10 根手指--更精确的说，有八根手指和两个拇指。我们的两个手代表了十位数，我们常常用它们来数到 10。但是，我们真的只数得到 10 吗？下面视频中揭示了其中的秘密。
记数系统简史: 为什么会选择十进制?
只用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 和 0 这 10 个符号，我们可以写出任何数字。但是为什么是这些特殊符号？为什么有十个？为什么是如此安排他们？
聊不尽的圆周率
π 与圆密切相关, 它出现了许多几何学和三角学的公式中（特别是与圆、球体和椭圆相关的那些）。此外 π 也出现在其他学科的一些重要公式中，比如统计学、物理学，傅立叶分析和数论的公式。并且也会经常出现在描述宇宙的基本原则方程中，因为 π 与圆以及球坐标系的关系密切。也请各位朋友看下面视频中 π 的动画。
无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——大卫·希尔伯特
第三次 [遇见] 整理出了 10 部双语字幕数学卡通短片，亦附有简单内容摘要描述, 希望各位老友喜欢.
让人头晕的"芝诺二分法悖论"
古希腊哲学家埃利亚的芝诺(约公元 490 年－前 430 年)， 亚里斯多德称他为辩证法的发明者。他以提出了 4 个关于运动相关的悖论而知名：
- 二分法悖论
- 追赶乌龟的阿喀琉斯(又称阿基里斯)悖论
- 飞矢不动悖论
- 游行队伍悖论
二分法(上左)、飞矢不动(上右)、游行队伍(下左)、阿喀琉斯(下右)
芝诺的这些悖论使哲学家、数学家和物理学家困惑、思考和启发了两千年之久，使得人们更深入地思考无穷的本质，被英国哲学家、数学家罗素形容为"不可估量的微妙而深刻"。
其中第一种二分法悖论是指：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。由此得出的结论就是：像这样有无限多个有限距离的路程，运动是不可穷尽的过程。具体请看下面链接中的视频：
3 分钟短片来欣赏大自然中的数学之美
大自然中植物叶子千姿百态, 它在叶茎上的排列序列(称为叶序 phyllotaxis )隐藏着自己的规律。如果细细观察，在向日葵花盘上瓜子从中心往外构成了顺时针和逆时针螺旋线数目恰好为斐波那契数列: 2,3,5,8,13,21......
令人惊奇的是，无论植物有多大，总是按照一个固定的旋转角度生长开来：最中心新长的种子会从相对有空隙的地方钻出, 而将原先种子由内向外推挤，并且每个新种子和前一个之间的角度为 137.51°, 这个角度称为黄金角，这样就能产生最优的布局设计。早在上个世纪就有人推测，按照这个角度总能产生均匀填满平面空间，但直到 1993 年才由圣·杜亚迪和伊夫库德两个法国数学家从数学上得以证明。在新种子(或叶子、花瓣等)破壁而出之前，这样做 0.618 圈旋转就会产生最佳的种子布局。
下面 3 分钟的精美短片就展示了斐波那契数列, 黄金比例在大自然里所隐藏的数学之魅.
曼德博集合放大 10^198 倍过程动画
曼德博集合由迭代产(迭代就是不断重复某个过程)，以数学家本华·曼德博而命名。就曼德博集而言，被迭代的是一些最简单的函数：它们全都是所谓的二次多项式，其形如 f(x) = x² + c，复数 c 使得从初值 0 开始通过 x² + c 迭代产生的轨迹不趋于无穷大。
上图中黑色区域即为曼德博集合。曼德博集合关于 x 轴对称，它与 x 轴的交集位于区间 -2 到 1/4 之内。x 轴上的原点位于主心形内，-1 点位于主心形左侧的球形内。
将曼德博集合无限放大都能够看到有精妙的细节在内，而这奇异的图案仅仅由上面那个简单的公式生成。下面视频中就一窥曼德博集合经过 350000000 次迭代, 放大 10^198 倍的整个瑰丽的图形变化过程。
无限有多大?
如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。——印度《夜柔吠陀》（公元前 1200－900）
拉丁文中的无限是“infinitas”，意思是“没有边界”。那么它究竟有没有边界呢？这个问题不仅考问了 19 世纪末的数学家们，还对许多现代数学的深层次研究产生着巨大的影响。下面 TED 这段关于"无限有多大?"的视频非常精彩，推荐观看：
数学符号从何而来?
伴随着数学的发展，人们需要更多的符号来避免冗长反复的书写陈述，又或是为了更简洁地定义某些数学概念。这样就创造出或硬性规定了各种数学符号。尤其在十八和十九世纪时有不少数学符号被创造出来，也伴随着数学符号的规范化，有不少符号作为标准沿用至今。
数学是一个发明还是一个发现？
大自然这本书是用数学语言写成的。—— 伽利略
数学无处不在、无所不能的威力从何而来？是人类为了理解周围的世界创作出数学吗？如果没有人类，那么数学还会存在吗？还是数学本身就是宇宙的语言，世界也就是由数学关系构成的，不管人类的介入与否。自从远古时代，人类就开始激烈的辩论：“是我们发现了数学还是我们发明了数学”。这样困惑一代代哲学家、数学家的重大问题，你又是怎样的想法呢？请看见下面动画视频：
梵高《星空》背后让人意想不到的数学奥秘
物理学家维尔纳·海森堡曾说：“如果我见到上帝，我要问他两个问题：为什么创造相对论？为什么创造湍流？我相信他对前者有个解释。“因为用数学去解释湍流很困难，所以我们可以用艺术描绘它的样子。娜塔莉亚·圣克莱将告诉我们梵高是如何在他的作品里捕捉这光影流动的奥秘。
非欧几里德世界引擎下的奇妙世界
油管有位大神自己编写了非欧几里德世界的引擎, 且让我们跟着他来游览下在这个世界里令人震撼的的种种奇妙现象。
名画《宫娥》有什么神奇魅力?
《宫娥》（西班牙语：Las Meninas）是西班牙黄金时代画家委拉斯奎兹在 1656 年的一幅画作，现收藏于马德里的普拉多博物馆。此作品带有复杂且难解的构图，引起了关于实景与虚景的难题；并建构了观察者与画中人物间的不稳定关系。由于这些复杂性，《宫娥》是西方绘画中经历最多分析与研究的作品之一。现在让我们一起进入这张画的立体空间吧！
分形迷案
关于分形有趣的动画短片，片中主角需要回答守卫的三个谜题：
- "什么东西没有面积，但能握在手里？"
- "哪个图形是面积有限，但周长是无限的？"
- "一种图形能够无限放大但依旧能看到有无限精妙的细节在里面？"
小编非常喜欢这样风格的动画，推荐!
莎士比亚是否真的写了他的戏剧？
每一个作者的风格都有自己的独特性, 通过句长，排字，甚至是某个单词出现的频率，或是通过其他数学方法来分析莎士比亚是否真的写了他的经典戏剧？请看下面 4 分钟动画.
薛定谔的猫：量子力学里的理想试验
奥地利物理学家埃尔文薛定谔，量子力学的奠基人之一，提出了著名的疑论：如果将猫放入一小时内有百分之五十几率杀死猫的机器的密闭盒子内，一小时后，猫将处于一个什么样的状态？
▲ 埃尔温·薛定谔
通过这思想实验，薛定谔指出了应用量子力学的哥本哈根诠释于宏观物体会产生的问题，以及这问题与物理常识之间的矛盾。在这思想实验里，由于先前发生事件的随机性质，猫会处于生存与死亡的叠加态。
来源：遇见数学
