矩阵与行列式是线性代数中的重要概念，它们在数学应用中有着广泛的作用。而矩阵如何变成行列式，对于学习线性代数的同学们来说，是一个非常基础的知识点，下面我们来详细探讨这个问题。
矩阵与行列式的概念
首先，我们需要了解什么是矩阵和行列式。矩阵是一个由数值排列成的矩形，其中每个数值称为这个矩阵的一个元素。例如，下面这个2x3的矩阵：
$$ \left\{\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\end{array}\right\} $$而行列式则是一个数。它是由一个方阵中的元素按照一定的规则计算得出的。例如，下面这个3x3的矩阵：
$$ \left\{\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right\} $$它的行列式为：
$$ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} $$矩阵怎么变成行列式
那么，矩阵如何变成行列式呢？这里我们需要介绍两种方法。
方法一：使用初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵
我们可以使用初等变换将一个矩阵化为行阶梯形矩阵。例如，下面这个3x3的矩阵：
$$ \left\{\begin{array}{ccc}2&1&3\\4&1&5\\1&1&1\end{array}\right\} $$我们使用初等变换将其化为行阶梯形矩阵：
$$ \left\{\begin{array}{ccc}2&1&3\\0&-1&-2\\0&0&-\frac{1}{3}\end{array}\right\} $$然后我们可以通过以下公式将行阶梯形矩阵的行列式计算出来：
$$ |A|=(-1)^r a_{11}a_{22}\cdots a_{rr} $$其中，$r$为行阶梯形矩阵的非零行数，$a_{11},a_{22},\cdots,a_{rr}$为行阶梯形矩阵中第$i$行第$i$列的元素。
对于上述矩阵，它的行阶梯形矩阵为：
$$ \left\{\begin{array}{ccc}2&1&3\\0&-1&-2\\0&0&-\frac{1}{3}\end{array}\right\} $$其中，$r=3$，$a_{11}=2$，$a_{22}=-1$，$a_{33}=-\frac{1}{3}$，因此它的行列式为：
$$ \begin{vmatrix}2&1&3\\4&1&5\\1&1&1\end{vmatrix}=(-1)^3\times2\times(-1)\times(-\frac{1}{3})=\frac{2}{3} $$
方法二：使用余子式和代数余子式计算行列式
除了使用初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵以外，我们还可以使用余子式和代数余子式的概念来计算行列式。
余子式
定义：将一个$n$阶矩阵$A$中第$i$行和第$j$列的元素划去后得到的$n-1$阶矩阵的行列式，称为第$i$行第$j$列元素的余子式。用$M_{ij}$表示。
例如，对于下面的矩阵：
$$ \left\{\begin{array}{ccc}3&2&1\\1&2&-1\\0&2&1\end{array}\right\} $$它的第1行第2列元素为2，将它划去后得到下面的2x2矩阵：
$$ \left\{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}\right\} $$它的行列式为：
$$ \begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}=1\times1-(-1)\times0=1 $$因此，这个矩阵的第1行第2列元素的余子式为1，用$M_{12}$表示。
代数余子式
定义：将一个$n$阶矩阵$A$中第$i$行和第$j$列的元素划去后得到的$n-1$阶矩阵的行列式乘以$(-1)^{i+j}$，称为第$i$行第$j$列元素的代数余子式。用$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$表示。
例如，对于下面的矩阵：
$$ \left\{\begin{array}{ccc}3&2&1\\1&2&-1\\0&2&1\end{array}\right\} $$它的第1行第2列元素为2，将它划去后得到下面的2x2矩阵：
$$ \left\{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}\right\} $$它的行列式为：
$$ \begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}=1\times1-(-1)\times0=1 $$因此，这个矩阵的第1行第2列元素的代数余子式为$A_{12}=(-1)^{1+2}\times1=-1$。
有了余子式和代数余子式，我们就可以通过以下公式计算行列式：
$$ |A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij} $$其中，$a_{ij}$是矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素。
例如，对于下面的3x3的矩阵：
$$ \left\{\begin{array}{ccc}3&2&1\\1&2&-1\\0&2&1\end{array}\right\} $$它的行列式为：
$$ \begin{aligned} |A|&=3A_{11}+2A_{12}+1A_{13}\\ &=3(-1)+2(-1)^{1+2}\times1+1(-1)^{1+3}\times2\\ &=-3 \end{aligned} $$因此，这个矩阵的行列式为$-3$。
总结
通过上面的介绍，相信大家已经了解了矩阵怎么变成行列式的基本原理。通过初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵和使用余子式和代数余子式计算行列式，都是行列式计算的基本方法。在学习线性代数时，行列式是必不可少的基础知识点，掌握好它对于理解后续内容有着非常重要的作用。