积分和导数是微积分中两个最基本的概念之一。积分的导数是指对积分函数求导。它在微积分中有极其重要的作用，因为它帮助我们求出一些重要函数的积分。在本文中，我们将着重讲解积分的导数应该如何求解。
在开始讲积分的导数之前，我们有必要先了解一下微积分的基本原理。微积分主要有两部分，一部分是求导，另一部分是积分。求导就是在某一点上计算函数的斜率，积分则是计算曲线下的面积。积分和求导是互相逆过程，所以它们是密不可分的。在微积分中，求导和积分是两个基本的工具，在计算导数时需要特别注意。
在计算导数时，我们需要知道一个基本的规则，当然在这里不做过多解释。但是需要知道的是，当求导时，我们可以将积分中的常数公司在外面，然后对函数部分求导即可，例如下列方程：
f(x)= ∫(a, b) g(x) dx
它的导数为：
f'(x) = g(x)
这里g(x)就是函数f(x)的导数。在计算积分的导数时，需要注意，我们必须先确定积分的界，即a和b，然后把这个界加入到函数中。这是由于积分是一个区间上的操作，而导数则是在某一个点上的操作。
当我们要求的积分是一个定积分时，我们可以把它看成是一个函数的面积。在这种情况下，我们可以使用牛顿-莱布尼兹公式。它是这样定义的：
f(b) - f(a) = ∫(a, b) f'(x) dx
在这个公式中，我们可以看出，积分的导数就是原来函数的值在a和b两个点之间的差值。利用这个公式，我们可以方便的计算出一个函数在一个给定范围内的面积。
下面我们来看一个例子：
f(x) = x^2
定积分I = ∫(0, 1) x^2 dx
我们可以将积分部分求出：
I = (1^3/3) - (0^3/3)
所以，I = 1/3。现在我们可以使用牛顿-莱布尼兹公式：
f(b) - f(a) = ∫(0, 1) 2x dx = 1
所以，f(1) - f(0) = 1，这就是牛顿-莱布尼兹公式的结果，而且也等于我们求出的面积。所以，我们就成功的求出了积分的导数。
不过，上述的方法只适用于定积分的情况。如果积分是一个不定积分，我们就需要另一种方法来求解积分的导数。
我们知道，在求导的时候，我们需要先对函数本身求导，然后再把常数放回去。同样的，对于积分的导数，我们也需要先把常数放入积分中，再把函数本身求导。这是因为积分的导数并不是在求导过程中自然得到的信息，而需要我们手动确定。
下面我们看一个例子：
f(x) = ∫(a, x) g(t) dt
这个积分函数是一个不定积分，我们需要把它转化为某一个固定点x对应的定积分。这可以通过添加限定范围的方式来实现，即：
f(x) = ∫(a, b) g(t) dt + k
这里k是一个常数，它的值取决于a的值。但是，当求导时，由于我们已经确定了b，所以我们必须把a和k当做常数看待。
现在我们对f(x)求导：
f'(x) = g(x)
因此，积分的导数就是g(x)。这就是我们想要的答案。
那么，现在我们已经了解了积分的导数的计算方法。但是，有时候我们会遇到比较复杂的积分，这时候我们就需要使用一些技巧。例如，在计算积分的导数时，我们可以使用积分换元法。
积分换元法是一种把某一个变量替换为另一个变量的方法。这个方法在微积分中经常使用。当我们需要计算一个函数的积分时，我们可以使用积分换元法。这种方法可以把积分的变量替换为一个变量的函数，这有时会让积分计算变得更容易。
积分换元法的基本思想是使用另一个函数来代替原来的变量。这个函数可以使得新的变量是原来变量的函数。当我们进行积分换元法时，我们永远不会改变原函数的积分值，但是我们可以通过换元法，使积分变得更加容易求解。
下面我们来看一个例子，说明积分换元法的应用：
计算g(x) = ∫(0, x^2) t * e^t^2 dt的导数
首先，我们不难发现这是一个复合函数。不妨设h(t) = t * e^t^2，因此：
g(x) = ∫(0, x^2) h(t) dt
现在我们计算h(t)的导数：
h'(t) = e^t^2 + 2t*e^t^2
我们现在重新写下g(x)：
g(x) = ∫(0, x^2) h(t) dt
接下来，我们可以使用积分换元法，令u = t^2。由于t = √u，我们可以将积分替换为：
g(x) = ∫(0, x) 2u * √u * e^u du
现在我们使用求导法，对上述积分求导：
g'(x) = 2x * √x * e^(x^2)
这就是我们要求的积分的导数。
在本文中，我们已经讲解了如何求解积分的导数。需要注意的是，在计算积分的导数时，我们需要先把积分的界确定好，然后再把常数放回去。如果积分是一个不定积分，我们可以使用积分换元法来帮助我们求解积分。