几个世纪以来，一些数学问题一直在困扰着我们，尽管近来超级计算机的出现让其中的一些难题取得了一些新进展，例如“三方求和”问题，但数学界仍然存在10大悬而未解的难题。
1.科拉兹猜想
科拉兹猜想
科拉兹猜想又称为奇偶归一猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。
澳大利亚数学家陶哲轩
本月初，澳大利亚数学家陶哲轩对科拉兹猜想有了一个接近解决方案，但这个猜想仍未完全解决。科拉兹猜想称，任何正整数，经过上述计算步骤后，最终都会得到1，可能所有自然数都是如此。
目前已知数目少于1万的，计算最高的数是6171，共有261个步骤； 数目少于10万的，步骤中最高的数是77031，共有350个步骤； 数目少于100万的，步骤中最高的数是837799，共有524个步骤； 数目少于1亿的，步骤中最高的数是63728127，共有949个步骤； 数目少于10亿的，步骤中最高的数是670617279，共有986个步骤。但是这并不能够证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。
2.哥德巴赫猜想
将一个偶数用两个素数之和表示的方法，等于同一横线上，蓝线和红线的交点数。
哥德巴赫猜想是数学界中存在最久的未解问题之一。它可以表述为：任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。例如，4 = 2 + 2；12 = 5 + 7；14 = 3 + 11 = 7 + 7。
也就是说，每个大于等于4的偶数都是哥德巴赫数，可表示成两个素数之和的数。
中国数学家陈景润
哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到二十世纪二十年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路，并在其后的半个世纪里取得了一系列突破。目前最好的结果是中国数学家陈景润在1973年发表的陈氏定理（也被称为“1+2”）。他用筛法证明了任何一个充分大的偶数都可以表示成两个素数的和或者一个素数及一个半素数（2次殆素数）的和。
3.孪生素数猜想
这个猜想是最初发源于德国数学家希尔·伯特，他在1900年国际数学家大会上提出：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。其中，素数对(p, p + 2)称为孪生素数。在1849年，法国数学家阿尔方·德·波利尼亚克提出了孪生素数猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p, p + 2k)。k = 1的情况就是孪生素数猜想。
美籍华裔数学家张益唐
2013年5月14日，《自然》杂志报道，美籍华裔数学家张益唐证明存在无穷多个素数对相差都小于7000万，可以用数式表示为：
此后，数学家们一直利用张益唐的证明降低素数对相差的数量，从数百万减少到数百。根据计算，接近的数字是6。而最终数字是到2。或者最后一步会挑战数学家数十年时间。
4.黎曼猜想
黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。它是数学界一个重要而又著名的未解决的问题，素有“猜想界皇冠”之称，多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。
对于每个s，此函数给出一个无穷大的和，这需要一些基本演算才能求出s的最简单值。例如，如果s = 2，则（s）是众所周知的级数 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +…，奇怪是谁，加起来恰好是² / 6。当s是一个复数（一个看起来像a +b的复数）时，使用虚数查找是很棘手的。
黎曼猜想之所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下得到证明。大部分数学家也相信黎曼猜想的正确性。美国克雷数学研究所已设立了100万美元的奖金给予第一个得出正确证明的人，目前尚无人获奖。
5.贝赫和斯维纳通-戴尔猜想
贝赫和斯维纳通-戴尔猜想表述为：对有理数域上的任一椭圆曲线, 其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成 的Abel群的秩。
设E是定义在代数数域K上的椭圆曲线，E(K)是E上的有理点的集合，已经知道E(K)是有限生成交换群。记L（s,E）是E的L函数，则生成上图的贝赫和斯维纳通-戴尔猜想公式。
6.接吻数问题
当一堆球体堆积在某个区域中时，每个球体都有一个“接吻数”，即它所接触的其他球体的数量。例如，如果您要触摸6个相邻的球体，那么您的接吻数是6。一堆球体将具有一个平均接吻数，这有助于从数学上描述情况。但是有关接吻数的问题尚未获得数学上的最终解答。
首先，要注意尺寸。尺寸在数学上有特定含义：它们是独立的坐标轴。x轴和y轴显示坐标平面的二维。
一维物体是线，二维物体是平面。对于这些较低的数字，数学家已经证明了这么多尺寸的球体的最大可能接吻数。在1维线上时为2，即一个球在您的左侧，另一个球在您的右侧。尽管直到1950年代才有3个维度的接吻数问题确切数字的证明。
超过3个维度，接吻数字问题大部分尚未解决。数学家逐渐将可能性缩小到了多达24个维度的相当窄的范围，其中一些确切已知，如上图所示。完整解决方案有几个障碍，包括计算限制，因此，预计未来几年接吻数问题将进行存在。
7.活结死结问题
在数学中，活结死结问题是在给定某种结的情况下在算法上识别不打结的数量。
将绳子的两端在无穷远处接起来，就形成了拓扑学意义上的纽结。如果这个纽结与一个圈在某种意义上拓扑等价，数学上称之为unknot，就意味着原来的结是活结，否则就是死结。
在过去的20年中，已经为出现了几种计算机算法，它们能够解开复杂的结，但是随着结变得越来越复杂，算法花费的时间越来越长。
有数学家认为算法可以消除任何打结，而另外的人证明这是不可能的，他们认为“活结死结问题”的计算强度不可避免的加大，导致无法消除打结。
8.大基数
如果您从未听说过大基数，请准备学习。在19世纪末，一位名叫格奥尔格·康托尔的德国数学家确定了在两个集合中的成员，其间一对一关系的重要性，定义了无限且有序的集合，并证明了实数比自然数更多。康托尔对这个定理所使用的证明方法，事实上暗示了“无限的无穷” 的存在。
在集合论的数学领域中，大基数性质是有限基数的一种性质。顾名思义，具有这种性质的基数通常非常“大”，它们不能在最普遍的集合论公理化中得到证明。
最小无穷大，记为ℵ₀。那是希伯来语字母aleph；它的读数为“ aleph-零”。它是一组自然数的大小，因此被写为|ℕ| =ℵ₀。
接下来，一些常见集合大于大小ℵ₀。康托尔证明的主要示例是实数集更大，用|ℝ|>ℵ₀表示。
对于真正的大基数，数学家不断发现越来越大的基数。这是一个纯数学的证明过程，就像有人说：“我想到了一个基数的定义，我可以证明这个基数比所有已知的基数都大。”然后，如果他们的证明是正确的，新的最大的已知大基数就此诞生，直到有人提出更大的基数证明。
在整个20世纪，已知的大基数稳步向前发展。从某种意义上说，大型基数层级的顶端已可见。一些定理已经被证明，对大基数的可能性施加了某种限制。但是仍然存在许多悬而未决的问题。
9. + e？
鉴于我们对数学中最著名的两个常数和e所了解的一切，这真让人惊讶，将它们加在一起时令数学家们困惑。
这个问题全是关于代数实数的。定义：如果实数是某些具有整数系数的多项式的根，则实数是代数的。例如，x²-6是具有整数系数的多项式，因为1和-6是整数。x²-6= 0的根是x =√6和x =-√6，这意味着√6和-√6是代数数。
所有有理数和有理数的根都是代数的。所以可能感觉“大多数”实数都是代数的，结果却恰恰相反。
实数可以追溯到古代的数学，而e是从17世纪才开始出现的。
好吧，我们确实知道和e都是超越数。但是，我们不清楚 + e是代数的还是超越数。同样，我们不了解e， / e及其它们的其他简单组合的结果性质。因此，关于我们几千年来知道的数字仍然存在着令人难以置信的基本问题，这些问题仍然是神秘的。
10.是有理数吗？
这是另一个很容易写出来但很难解决的问题。是欧拉-马斯刻若尼常数，它是调和级数与自然对数的差值。
的近似值
它的近似值如上。该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1735年发表定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家洛伦佐·马斯刻若尼引入了作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。
目前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10的242080方。
有理数是小数部分是有限或为无限循环的数，而不是有理数的实数遂称为无理数。
目前，已经计算到了几千亿位数，但没有人能证明它是否为有理数。普遍的预测是是非有理数的。